Kvantált Hall-jelenség
Klasszikus Hall-effektus
A Hall effektust 1879 Edwin Hall fedezte fel. A jelenség lényege, hogy ha egy síkszerű elektromos vezetőben áram folyik, és vezető síkjára merőleges mágneses teret kapcsolunk, akkor a vezető két oldala között az elektronokra ható Lorentz erő miatt feszültség jelenik meg.
A Hall jelenséget általában az 1. ábrán bemutatott Hall elrendezésben szokták márni. Az elektromos vezetékre hat kontaktust helyeznek. Az x irányú 
áram az 1. és 4. kontaktus között folyik. Ha a mérést zérus mágneses térben végezzük, akkor a 2. és 6. kontaktus között (y irányban) nem mérünk feszültséget. A 2. és 3. kontaktus között mért 
longitudinális feszültség és az áram arányából pedig a minta négypont ellenállását kapjuk meg.
A minta síkjára merőleges (z irányú) mágneses tere kapcsolva a 2. és 6. kontaktus között 
Hall feszültség jelenik meg, melynek az értéke a mágneses tér nagyságával lineárisan változik. A 2. és 3. kontaktus között (kismértékű mágneses ellenállástól eltekintve) továbbra is zérus térben tapasztalt longitudinális ellenállást mérjük.
A Hall jelenség jól leírható klasszikus, Drude közelítésben. Az egyszerűség kedvéért számoljunk két dimenzióban. Az elektronok 
impulzusának idő szerinti deriváltját az elektronokra ható erők összegeként kapjuk meg. A 
elektromos illetve 
Lorentz erő mellett figyelembe vesszük azt is hogy a a kristályban történő szóródások következtében az elektronok átlagosan 
relaxációs idő alatt elveszítik impulzusukat:
![\[m \frac{dv}{dt}=-eE-ev \times B - m \frac{v}{\tau}, \;\;\;\]](/images/math/d/c/0/dc0593f675356b4aa0ec83d5c2fd7374.png)
A sebesség helyett vezessük be a 
áramsűrűséget, ahol 
az elektronok (kétdimenziós) sűrűsége.
Az egyenletet átrendezve az alábbi mátrixegyenletet kapjuk az elektromos tér és az áramsűrűség komponensei között:
![\[\left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} m/e^2 n_{2D} \tau & B/e n_{2D} \\ -B/e n_{2D} & m/e^2 n_{2D} \tau \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} j_x \\ j_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \rho_{xx} & \rho_{xy} \\ \rho_{yx} & \rho_{yy} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} j_x \\ j_y \end{array} \right).\]](/images/math/6/9/8/698694958edd0ea993908d143eae99cd.png)
X irányú áramot folyatva és x irányú feszültséget mérve a minta longitudinális ellenállását a 
fajlagos ellenállásból kaphatjuk meg a geometriai faktorokkal történő skálázás után.
A fenti számolásból jól látszik, hogy véges mágneses térben x irányú áram esetén y irányú feszültség is megjelenik. A Hall ellenállás a 2. és 6. kontaktusok között megjelenő Hall feszültség és az áram hányadosaként definiáljuk. Kétdimenzióban ez megegyezik az y irányú elektromos tér és az x irányú áramsűrűség arányával:
![\[R_H=\frac{V_H}{I}=\frac{E_y}{j_x}=\rho_{yx}=-\frac{B}{e n_{2D}}\]](/images/math/7/7/4/774d62610eb09416880d2d71cae8745e.png)
Egyszerű számolásunkból jól látszik, hogy a Hall ellenállás a 
mágneses térrel egyenesen arányos, és ezen kívül csak az elektronok sűrűségétől függ, azaz az relaxációs idő a longitudinális ellenállástól eltérően a Hall ellenállásban nem jelenik meg. Ennek köszönhetően a Hall ellenállás mérés általánosan bevett módszer félvezetők elektronsűrűségének mérésére. Érdemes megjegyezni, hogy 
-típusú félvezetőken, azaz amikor az áramot nem elektronok, hanem lyukak vezetik, a Hall ellenállás előjelet vált. A Hall jelenséget -amellett hogy a szilárdtestfizika alapvető mérési módszerei közé tartozik- a hétköznapokban is gyakran használjuk különböző elektronikai eszközökben elhelyezett mágneses tér szenzorok formájában.
Hall jelenséget elsősorban félvezetőkben szoktak tanulmányozni, hiszen az alacsony elektronsűrűség miatt a Hall ellenállás viszonylag könnyen mérhető. Fémekben a nagy elektronsűrűség miatt a Hall ellenállás értéke sokkal kisebb, de precíziós műszerekkel fémekben is vizsgálható a Hall jelenség, ahogy erről a fizikus hallgatók maguk is meggyőződhetnek a ?? c. hallgatói mérés során.
Kvantált Hall-effektus
Klaus von Klitzing meglepő felfedezése
A Hall jelenséget megfelelően nagy tisztaságú kétdimenziós elektrongázban (2DEG) és elegendően nagy mágneses térben vizsgálva nagyon meglepő jelenséget tapasztalunk. A Hall ellenállás a lineáris térfüggés helyett lépcsőszerűen változik, a longitudinális ellenállás pedig zérus értéket vesz fel (
) azokban a mágneses tér tartományokban, ahol a Hall ellenállás vízszintes platót mutat (lásd ??? ábra).
A kvantált Hall ellenálás értékeket egy univerzális állandó és egy egész szám hányadosaként kapjuk meg:
![\[R_H=\frac{h}{e^2 n}, \;\;\;n=0,1,2,\dots,\]](/images/math/9/8/2/98210ceb9358c0a152f4f1b27ddc3485.png)
ami a spin degeneráció miatti 2-es szorzótól eltekintve a vezetőképesség kvantálás képletének felel meg.
A tapasztlatok szerint a kvantált 
értékek függetlenek a minta alakjától, méretétől, anyagától, és kísérletileg meghatározott értékei akár 
pontossággal leírhatók a fenti egyszerű képlettel, azaz a kvantált Hall platók ellenállás standardként is jól használhatók.
A kvantált Hall jelenséget Klaus von Klitzing fedezte fel 1980-ban. Pár évvel később (1985-ben) felfedezését Nobel díjjal jutalmazták.
A következő Nobel díj: tört számű kvantált Hall-effektus
A kvantált Hall-jelenség felfedezése óriási érdeklődést váltott ki, és nem kellett sokat várni újabb meglepő kísérleti eredményekre. [Daniel Tsui] és [Horst Störmer] kísérletei 1982-ben megmutatták, hogy még tisztább kétdimenziós elektrongázban és még nagyobb mágneses térben a Hall ellenállás
![\[R_H=\frac{h}{e^2 \nu},\;\;\; \nu=\frac{p}{q}, \;\;\; p,q=0,1,2,\dots\]](/images/math/2/c/8/2c80ed0473db25bb0c2e968af88c9c06.png)
értékeket vehet fel, ahol 
már nem egész szám, hanem bizonyos egész számok hányadosa. A Hall platók tartományában
a longitudinális feszültség továbbra is zérus, .
A későbbiekben látni fogjuk, hogy Klaus von Klitzing felfedezése, az egész számú kvantált Hall-effektus (IQHE, integer quantum Hall effect) egy viszonylag egyszerű modellel magyarázható, melyben az elektronok kölcsönhatását nem kell figyelembe venni. Ezzel szemben Tsui és Störmer méréseiben tapasztalt tört számú kvantált Hall-effektus (FQHE, fractional quantum Hall effect) magyarázatában az elektronok kölcsönhatása fontos szerepet kap, a jelenség úgynevezett kompozit fermion részecskék bevezetésével írható le.
Tsui és Störmer kísérleti felfedezését, illetve Robert Laughlin kísérletekre adott elméleti magyarázatát 1998-ban Nobel díjjal jutalmazták.
A harmadik Nobel-díj: anomális kvantált Hall-effektus grafénban
A kvantált Hall-effektus egy közelmúltban kiosztott Nobel díjjal kapcsolatban is előtérbe került. 2010-ben Andre Geim és Konstantin Novoselov grafénon, azaz egyetlen grafit síkon végzett kísérleteit jutalmazták Nobel díjjal, melynek keretében alapvető jelentőségű volt a grafénon tapasztalható anaomális kvantált Hall-jelenség megmutatása. Grafénon a Hall ellenállás az elektrosztatikus potenciáltól függően egyaránt lehet pozitív és negatív, a kvantált értékek pedig
![\[R_H=\pm\frac{h}{e^2}\frac{1}{4(m+1/2)}, \;\;\; m=0,1,2,\dots \]](/images/math/b/a/6/ba64c8e52cbc399217766186f9a65046.png)
képlet segítségével írhatók le.
A továbbiakban az egész számú kvantált Hall jelenség leírását szemléltetjük. A grafén fizikájáról egy külön fejezetben adunk részletes leírást. Előadások: IQHE: ujkisnano, Mezo I. FQHE: komplexnano, Mezo I (v. II?) grafén QHE: komplexno
Kétdimenziós elektrongáz mágneses térben, Landau-nívók
Vizsgáljuk egy kétdimenziós szabad elektrongáz viselkedését a 2DEG síkjára merőleges mágneses térben!
Klasszikusan az elektronok ciklotronpályákon mozognak 
körfrekvenciával, azaz a körfrekvencia nem függ az elektronok sebességétől, csak a mágneses tértől.
![\[e v B = e \omega r B = m \omega^2 r.\]](/images/math/c/0/1/c01220074b7fd19b35cf93a2a0dbc668.png)
A körpálya sugara klasszikusan tetszőleges lehet az elektron sebességétől függően, kvantummechanikai tárgyalásban viszont a körpálya sugarának (illetve a mozgás energiájának) kvantáltságát várjuk. A Bohr - Sommerfeld kvantálási feltétel alapján meghatározhatjuk a lehetséges legkisebb sugarat (ciklotronsugár):
![\[2 \pi r_c = \lambda = \frac{2 \pi \hbar}{p} = \frac{2 \pi \hbar}{m \omega_c r} \;\; \Longrightarrow \;\; r_c=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega_c}}.\]](/images/math/6/6/f/66f1261a573a1cde84b323dcee029c7a.png)
A kvantummechanikai viselkedés részletesebb leírásához oldjuk meg a rendszer Schrödinger egyenletét. A Hamilton operátor:
![\[\hat{H}=\frac{1}{2}m(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2),\]](/images/math/0/4/c/04c528a1e299169f635a16f257773bab.png)
ahol a sebességoperátor a 
képlettel származtatható a kanonikus impulzus operátorból, illetve a vektorpotenciálből. A minta síkjára (x,y) merőleges (z irányú) B térnél
a vektorpotenciál az általánosság megszorítása nélkül vehető úgy, hogy csak x és y komponenssel rendelkezzen, azaz 
.
Számoljuk ki a sebességoperátor x és y komponensének az kommutátorát!
![\[[\hat{v}_x,\hat{v}_y]=\frac{1}{m^2}[\hat{p}_x+e\hat{A}_x,\;\hat{p}_y+e\hat{A}_y]=\frac{\hbar e}{i m^2}\left([\partial_x,A_y]+[A_x,\partial_y] \right)=\frac{\hbar e}{i m^2}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)=\frac{\hbar e B}{i m^2},\]](/images/math/2/b/d/2bd4327b0894bd1f06a3771b988ffb71.png)
azaz:
![\[[\hat{v}_x,\hat{v}_y]=\frac{\alpha}{i},\;\;\;\alpha=\frac{\hbar \omega_c}{m}.\]](/images/math/a/6/0/a602195e6a8162ff96a8e478f8d0d4ab.png)
Vezessünk be új operátorokat: 
.
Az új operátorok segítségével a Hamilton operátor
![\[\hat{H}=\hbar \omega_c \left(\hat{a}^+\hat{a}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\hbar \omega_c + \frac{\hbar \omega_c}{2 \alpha}(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2-i\hat{v}_x\hat{v}_y+i\hat{v}_x\hat{v}_y)=\frac{1}{2}m(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2)\]](/images/math/5/9/c/59cc717e76eb2820629c684fd6baa5c2.png)
formában írható fel, a két új operátor kommutátora pedig:
![\[[\hat{a},\hat{a}^+]=\frac{1}{2 \alpha}[i\hat{v}_x+\hat{v}_y, -i\hat{v}_x+\hat{v}_y]=1\]](/images/math/4/a/7/4a77c02d04686b81c0c800c3dc635cbd.png)
Látszik, hogy az új operátorok segítségével az egydimenziós harmonikus oszcillátor problémájára vezettük vissza a Schrödinger egyenletet, így további számolás nélkül megállapíthatjuk, hogy a mágneses térben mozgó elektronok lehetséges energiái a harmonikus oszcillátorhoz hasonlóan kvantáltak:
![\[E=\hbar \omega_c (n+\frac{1}{2}).\]](/images/math/8/9/1/891ac508336891b7eceb3b919179baeb.png)
A kvantált energiaszinteket Landau nívóknak hívjuk.
Ahogy a ?? ábra mutatja, a mágneses tér bekapcsolása alapvetően megváltoztatja az elektronok állapotsűrűségének energia szerinti eloszlását. Mágneses tér nélkül az elektronok állapotsűrűsége konstans (energiafüggetlen), 
. Nagy mágneses térben csak a kvantált Landau szinteken helyezkedhetnek el elektronok, ezek a diszkrét energiaszintek viszont szükségszerűen sokszorosan degenerált állapotok. D-szeres degenerációt feltételezve az állapotsűrűség: 
. Mivel az elektronok száma a mágneses tér bekapcsolásával nem változik, így feltételezhető hogy egy Landau szinten levő állapotok zérus térben 
szélességű energiatartományban helyezkednek el. Így egy Landau szint degenerációja (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve):
![\[D=\hbar \omega_c 2 \frac{A m}{2 \pi \hbar^2}=\frac{2 e B A}{h} \;\; \Longrightarrow \;\; D=\frac{2 \Phi}{\Phi_0}, \Phi_0=\frac{h}{e}\]](/images/math/c/5/6/c56a2430569bfae684078754954f9bff.png)
Így egy teljesen betöltött Landau szinten az elektronsűrűség: 
A Landau szintek magasfokó degenerációja mögött szemléletesen az áll, hogy egy ciklotronsugárnak megfelelő tipikus kiterjedésű elektronállapotot a minta 
felületén összesen
különböző helyre tehetünk le (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve). Ez alapján kis átalakítással 
adódik, ahol 
, a teljes fluxus, 
pedig a fluxuskvantum, azaz naív számolásunkkal egy egy kettes szorzó eltéréssel visszakaptuk a Landau nívók fent kiszámolt degenerációs fokát.
Megjegyzés: a fenti állapotsűrűséges argumentum abból a feltételezésből indul ki, hogy az egyes Landau szintek egyformán degeneráltak. Az egyes landau szintek degenerációjának fokát pontosabban kiszámolhatjuk egy konkrét mértéket választva az ún. Landau mértékben. Ez a számolás is megerősíti a fenti, állapotsűrűségek összevetéséből kapott eredményt. Mivel kifejezetten tanulságos az itt ismertetett mértékinvariáns tárgyalásmódot összevetni a Landau mértékben elvégzett számolással, ezért az utóbbit vázlatosan a ?? függelékben ismertetjük.
Landau szintek megfigyelésének feltételei:
- Az elektron sokszor végig tudja járja a cikl. pályát két szórás között:
nagy B tér, elegendően nagy tisztaság.
-
alacsony hőmérséklet!)
- kevés Landau szint legyen betöltve, kis e sűrűség.
Ciklotron pályák középpontjának mozgása
Nagy mágneses térben azt várjuk, hogy az elektronok egy középponti 
kordináta körül nagyon kis, 
sugarú ciklotronmozgást végeznek. Klasszikusan az elektron éppen aktuális helyzetét
alakban írhatjuk, ahol 
a középpontból az aktuális ponta mutató vektor. Körmozgás esetén az elektront körpályán tartó centripetális erőt 
alakban írhatunk, ami jelen esetben értelemszerűen a Lorentz erővel egyezik meg. Ez alapján a körpálya középpontját formálisan
![\[r_0 = r-\frac{e}{m \omega^2} v \times B\]](/images/math/c/2/d/c2d6543730e1c3734b301f0156562cf9.png)
alakban írhatjuk.
Játsszunk el a gondolattal, hogy az 
koordinátát kvantummechanikai tartalommal ruházzuk fel a ciklotronpályák középpontjának helyét leíró operátorként. Komponensenként kifejtve:
![\[\hat{x}_0=\hat{x}-\frac{\hat{v}_y}{\omega_c},\;\; \hat{y}_0=\hat{y}-\frac{\hat{v}_x}{\omega_c}\]](/images/math/2/5/3/253219d5ef2b8038480deebd4297913e.png)
Vizsgáljuk meg, hogy a középponti koordináta várható értéke hogyan változik az idő függvényében:
![\[\frac{d}{d t}\langle\hat{x}_0\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H},\hat{x}]\rangle - \frac{i m}{2\hbar\omega_c} \langle[\hat{v}^2_x+\hat{v}^2_y,\hat{v}_y]\rangle = \hat{v}_x - \frac{i m}{2\hbar\omega_c} \langle[\hat{v}^2_x,\hat{v}_y]\rangle = 0,\]](/images/math/d/e/d/deda0c25fb1f424e062d7d7480cf74a5.png)
![\[\frac{d}{d t}\langle\hat{y}_0\rangle = 0,\]](/images/math/6/1/d/61d29b01f81f90dd06e86a2dfc324837.png)
azaz a várakozásoknak megfelelően a ciklotronpályák középpontja nem mozog.
Érdemes kiszámolni a középponti koordináták operátorainak kommutátorát is:
![\[[\hat{y}_0,\hat{x}_0] = \left[\hat{y} + \frac{\hat{v}_x}{\omega_c}, \hat{x} - \frac{\hat{v}_y}{\omega_c} \right] = -\left[\hat{y}, \frac{\hat{p}_y}{m \omega_c} \right] + \left[\frac{\hat{p}_x}{m \omega_c}, \hat{x}\right] - \left[ \frac{\hat{v}_x}{\omega_c}, \frac{\hat{v}_y}{\omega_c} \right] = \frac{\hbar}{i m \omega_c} = \frac{r_c^2}{i}\]](/images/math/d/a/0/da0c4810a2c25218fbbd3c1fc9047572.png)
Tetszőleges két fizikai mennyiség operátorára fenn áll az általános Heisenberg féle határozatlansági reláció, azaz:
![\[\Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2}|\langle[ \hat{A}, \hat{B} ]\rangle|\]](/images/math/0/5/b/05bec0a664f16c6b986ecddecc96718d.png)
Ezt az összefüggést a középponti koordináta két komponensének operátorára vonatkoztatva
![\[\Delta x_0 \cdot \Delta y_0 \geq \frac{r^2_c}{2}\]](/images/math/5/5/3/553157cd43fd417eeb10d946dbecc99e.png)
adódik, azaz a ciklotronpálya középpontjának x és y írányú kvantummechanikai bizonytalanságát összeszorozva pont az 
ciklotronsugár négyzete köszön vissza, egy elektron legalább 
helyet foglal. Ez alapján körszimmetrikus hullámfüggvényt feltételezve a ciklotron pályák x és y irányban is kiterjedésűek.
Megjegyzés: Landau mérték választása esetén x irányban végtelen kiterjedést, y irányban pedig 
kiterjedést kapunk, lásd függelék.
Bezáró és random potenciál
Az eddigiekben a Schrödinger egyenletben csak az elektronok kinetikus energiáját vettük figyelembe.
Valós minta: a minta széleinél jelentkező bezáró potenciált, és a minta belsejében jelen levő véletlen potenciált is figyelembe kell venni:
![\[\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{U} = \hat{H}_0 + \hat{U}_{bezaro} + \hat{U}_{random}\]](/images/math/5/7/f/57fee812f07f6c96fe92808e46b5aeab.png)
Az U potenciált perturbációként kezelve:
![\[E=\hbar \omega_c (n+\frac{1}{2}) + \langle \Psi | U | \Psi \rangle \approx E=\hbar \omega_c(n+\frac{1}{2}) + U(x_0,y_0)\]](/images/math/d/a/5/da5f08672e4054bb95629d9a327b26c1.png)
Ha 
lassan változik 
kiterjedéséhez, -hez képest (nagy )
Elektron-mozgás a potenciálban: gyors ciklotronmozgás (
kiterjedéssel) + 
lassú driftje. Mozgásegyenletek -ra:
![\[\frac{d}{d t}\langle\hat{x}_0\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H},\hat{x}_0]\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H}_0,\hat{x}_0]\rangle + \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{U},\hat{x}_0]\rangle = - \frac{i}{\hbar m \omega_c} \langle[\hat{U},\hat{p}_y]\rangle = - \frac{1}{m \omega_c} \langle[U,\partial_x]\rangle = \frac{1}{e B} \langle\frac{\partial U}{\partial y}\rangle \approx \frac{1}{e B} \frac{\partial U(x_0,y_0)}{\partial y_0}\]](/images/math/3/6/b/36b7e22bf8ee1fbf40daf1684a4f3e85.png)
Hasonlóan:
![\[\frac{d}{d t}\langle\hat{y}_0\rangle = -\frac{1}{e B} \langle\frac{\partial U}{\partial x}\rangle \approx -\frac{1}{e B} \frac{\partial U(x_0,y_0)}{\partial x_0}\]](/images/math/6/6/a/66add6e87bfc5a96526800dad34d17e5.png)
A potenciál változása a pálya mentén:
![\[\frac{d U}{d t}=\frac{\partial U}{\partial x_0} \cdot \dot{x}_0 + \frac{\partial U}{\partial y_0} \cdot \dot{y}_0 = \frac{c}{e H} \left( \frac{\partial U}{\partial x_0} \frac{\partial U}{\partial y_0} - \frac{\partial U}{\partial y_0} \frac{\partial U}{\partial x_0} \right) = 0\]](/images/math/f/7/2/f720fae290846d1a7bf5d770169bdf4c.png)
ekvipotenciális felületek mentén mozog!
Egyetlen Landau nívó
Csak a minta szélén vannak állapotok a Fermi energiánál, csak itt folyhat áram!
A minta felső szélénél:
![\[\dot{x}_0=\frac{1}{e B} \frac{\partial U_{bezaro}}{\partial y_0} > 0 \longrightarrow \text{pozitív x irányú mozgás.}\]](/images/math/2/1/7/21701f9273ece0b5df1cd49d2cc2217e.png)
Hasonlóan a minta alsó szélénél negatív x irányú mozgás.
A minta közepében tiltott sáv a Fermi energiánál, a felső "élállapotok" nem tudnak átszoródni az alsó élállapotokba!
A minta felső részén haladó elektronok mind az 1. elektródából jönnek 
kémiai potenciállal, az alsó élnél pedig a 2. elektródából 
kémiai potenciállal!
![\[V_{xx}=0,\;\; V_H=(\mu_1-\mu_2)/e\]](/images/math/f/0/b/f0b1149277f57e192e77d34eef47cc33.png)
Egy élállapot d
szélességű tartományának járuléka az áramhoz:
![\[I=j \mathrm{d} y = n e v \mathrm{d} y = \frac{2 e}{h} \mathrm{d} \epsilon\]](/images/math/5/6/5/56551249a8a9807923bbf6f40aae5f29.png)
![\[n=\frac{2 e B}{h},\;\; v=\frac{1}{e B}\frac{\mathrm{d} \epsilon}{\mathrm{d} y}\]](/images/math/6/2/5/625d92672c311255890654ff09b883be.png)
esetén felső állapotok 
-vel nagyobb energiáig vannak betöltve,mint az alsók, így az eredő áram:
![\[I=\frac{2 e}{h} e V \longrightarrow G_H=\frac{I}{V_H}=\frac{2 e^2}{h}\]](/images/math/b/1/5/b15d3c575f0bba0a61b624c221b2b21c.png)
![\[R_H=\frac{V_H}{I}=\frac{h}{2 e^2}\]](/images/math/b/e/1/be15a39661400e620567ddfca04d524f.png)
Több Landau nívó, Zeeman felhasadás
Eddig a spint kihagytuk a tárgyalásból; a tér Zeeman-felhasadást hoz létre \downarrow, \uparrow spinű elektron állapotok között:
![\[E=\hbar \omega_c (n+\frac{1}{2})+U_{bezaro} + g \mu_B B S_z\]](/images/math/2/4/2/242ee8146e2b8b16235d6e01b02b7f88.png)
Félvezetőkben 
(![\setbox0\hbox{$\hbar \omega_c [K] = 20 B [T],\;\; g \mu_B B [K] = 0.3 \cdot B [T]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/4/2/242737e223448a349fa5adf4c1db50e6.png)
), de ha a B tér elegendően nagy akkor Landau-szintek \downarrow és \uparrow spinű elektronjai elkülönült energiaszinteket tudnak létrehozni, ezek a spin polarizált Landau-szintek.
Energia szintek spin szerinti kettéválása esetén az élállapotokra tett megfontolások nem változnak; egyetlen különbség, hogy a spinre összegző 2x faktort el kell hagyni az áram számolásánál!
Ha a Fermi energia alatt M db. spin polarizált Landau szint található, és az élektől távol a Fermi energia két Landau szint közé esik:
![\[G_H=\frac{I}{V_H}=\frac{e^2}{h} M,\;\; R_H=\frac{h}{e^2}\frac{1}{M}\]](/images/math/e/2/0/e201c62b6bc711987b3e2b622ff10600.png)
Ezt látjuk a mérésekben! relatív pontossága 
ez a visszaszórás hiányának tökéletességét mutatja.
Klasszikus kép: az élek mentén hiába szóródik szennyezőkön egy elektron, az 1. elektródából induló elektron végül mindig a 2. elekródába érkezik!
EF helyzete
Az eddigi érvelés nem igaz akkor, ha a Fermi energia pont egy Landau szintnél van, hiszen ekkor a Landau szinten keresztül átszóródhatnak az elektronok a két él között!
Mikor esik EF két Landau-nívó közé? 1/B növelésével egymás után töltjük be a spinpolarizált Landau szinteket. A Landau szintek óriási degenerációja miatt a Fermi energia szinte mindig az egyik Landau szintre esik, kivéve amikor éppen egy teljesen betöltött és egy betöltetlen Landau szint közötti élállapotokat töltünk fel. Az élállapotok száma azonban elhanyagolható a Landau-szintek belső állapotainak számához képest!
Eddig csak a zöld pontokat magyaráztuk meg! Ez alapján 
lineáris függés is lehetne, nem kellene kiterjedt kvantált platókat látni!
Mi stabilizálja 
-et a Landau szintek közé?
Rendezetlenség szerepe
Bezáró potenciál + szennyezések
Vegyük figyelembe a szennyezések hatását egy véletlenszerűen oszcilláló potenciálként!
Minta belsejének elektronjai a szennyező potenciálban az ekvipotenciális felületek mentén mozognak 
nagy részük zárt pályákra lokalizálódik, amiken keresztül nem történik átszórás a minta két szélén levő élállapotok között! A Landau-nívók viszont kiszélesednek!
energián lévő elektronok mozgása miközben az egyik Landau szint közepéhez tart.
kicsi: minta szélén vezető élállapotok, a minta belsejében lokalizált elektron állapotok
nagy: ha a Landau szint közepére kerül, az ekvipotenciális felület mentén az elektron átszóródhat az egyik oldalról a másikra, a minta belsejére kiterjedt állapotokon keresztül.
Szennyezések hatása a Landau szintek állapotsűrűségére:
Lokalizált elektron állapotok feltöltése közben nincs visszaszórás Kvantált Hall-állapot 
egész értékek környezetében is stabilizálódik Kvantum Hall-platók kiszélesednek.
A rendezetlenség kettős szerepe
Szennyezőknek kettős szerepük van QHE-ra, rombolják és stabilizálják is egyszerre:
- ha a szennyező koncentráció túl nagy (
) QHE eltűnik. QHE részletes vizsgálatához nagy tisztaságú 2DEG-t kellett előállítani: epitaxiálisan növesztett GaAs/AlGaAs heteroátmenet + 
-dópolás tette lehetővé a nagy mobilitást.
- másrészről szennyezések által lokalizált állapotok stabilizálják a QH-platókat. A minta tökéletlensége teszi lehetővé, hogy
legyen a létező legpontosabb ellenállás standard. A minta tisztaságának növelésével a QH-platók egyre vékonyabbak lesznek.
Példa: FQHE méréséhez nagyobb tisztaság kell az IQHE platók nem túl szélesek.
Egészszámú Kvantum Hall-Effektust (IQHE) egyrészecskés képben sikerült megmagyarázni:
- delokalizált elektronokat tartalmazó Landau-nívók teljes betöltöttsége esetén
- az élállapotokon keresztüli visszaszórás mentes transzmisszióval, és
- rendezetlenség által lokalizált belső elektronállapotokkal
Mach-Zehnder interferométer Kvantum Hall élállapotokkal
2DEG nagy mágneses térben, úgy hogy az elektronok csak a legalsó Landau szinten, egy élállapotban tudnak propagálni.
Kapu elektródákkal hangoljuk az alsó ág trajektóriáinak hosszát, azaz az alsó ág fázisát.
-re állított QPC 2 felé osztja az "élcsatornát" (edge channel), mint egy féligáteresztő tükör. A source elektródába visszaverődés nincs.
Egy másik -re hangolt QPC-vel egyesítjük a két nyalábot.
Az egyik kimenő nyalábon mérjük az interferenciajelet.
A külső mágneses térrel hangoljuk az Aharonov-Bohm fázist.
Mind a mágneses tér, mind a kapu feszültség függvényében jó látszik az interferenciakép.
Forrás: J. Yang et el. Nature 422, 415 (2003)
