„Kvantummechanikai bevezető példák - Schrödinger-egyenlet megoldása hidrogénatomban” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
a (Tördelés fejlesztése.)
 
(egy szerkesztő 5 közbeeső változata nincs mutatva)
9. sor: 9. sor:
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Határozza meg a ''Schrödinger''-féle hidrogénatomban az elektron alapállapoti hullámfüggvényét! Számítsa ki, hogy protontól milyen távolságban található meg az elektron a legnagyobb valószínűséggel!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=$$keplet$$}}{{Végeredmény|content=$$keplet$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
</noinclude><wlatex># Határozza meg a ''Schrödinger''-féle hidrogénatomban az elektron alapállapoti hullámfüggvényét! Számítsa ki, hogy protontól milyen távolságban található meg az elektron a legnagyobb valószínűséggel!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Az elektron sugárirányú megtalálási valószínűségének eloszlás $$ R(r) = A_n \left(\frac{r}{a_0}\right)^{n-1} e^{\textstyle -\frac{r}{n a_0}}.$$}}{{Végeredmény|content=$$r_\text{lv.}=n^2 a_0$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
  
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
<wlatex>A ''Schrödinger''-egyenlet megoldása megtalálható a [http://goliat.eik.bme.hu/~tothaf/Tananyagok/Letoltesek/atfiz_bev.pdf kibővített óravázlat] 34-38. oldalán.
+
<wlatex>A hidrogénatom ''Schrödinger''-egyenlete
 
+
A Schrödinger-egyenlet
+
 
$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\Psi + V(r)\Psi = E\Psi, $$
 
$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\Psi + V(r)\Psi = E\Psi, $$
aminek megoldását $\Psi(r,\vartheta,\varphi)=R(r)\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi)$ alakban érdemes keresni. A megoldás abszolútértéknégyzete ($|\Psi|^2$) az elektron megtalálási valószínűsége. A differenciálegyenletet megoldva a sugárirányú eloszlás
+
aminek megoldását $\Psi(r,\vartheta,\varphi)=R(r)\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi)$ alakban érdemes keresni. A megoldás abszolútértéknégyzete ($|\Psi|^2$) az elektron megtalálási valószínűsége egy adott térfogatelemben. A ''Schrödinger''-egyenlet megoldása a szögfüggő tényezők levezetésével megtalálható a [http://goliat.eik.bme.hu/~tothaf/Tananyagok/Letoltesek/atfiz_bev.pdf kibővített óravázlat] 34-38. oldalán.
$$ R(r) = A_n \left(\frac{r}{a_0}\right)^{n-1} e^{-\frac{r}{n a_0}}, $$
+
 
 +
A sugárirányú differenciálegyenletet $Q(r)=r\cdot R(r)$ helyettesítéssel megoldva a sugárirányú eloszlás
 +
$$ R(r) = A_n \left(\frac{r}{a_0}\right)^{n-1} e^{\textstyle -\frac{r}{n a_0}}, $$
 
ahol $A_n$ egy, a pályára jellemző normáló tényező, hogy a megtalálási valószínűség teljes térre vett integrálja $1$ legyen.
 
ahol $A_n$ egy, a pályára jellemző normáló tényező, hogy a megtalálási valószínűség teljes térre vett integrálja $1$ legyen.
 
A másik két eloszlás értéke a feladat megoldásában nem játszik szerepet, mert a szögek szerint kiintegrálva ugyanazt a sugártól független állandót adják.
 
A másik két eloszlás értéke a feladat megoldásában nem játszik szerepet, mert a szögek szerint kiintegrálva ugyanazt a sugártól független állandót adják.
  
A legvalószínűbb sugarat $R(r)$ szélsőértékhelye adja:
+
Az elektron megtalálási valószínűsége $[r,r+\mathrm{d}r]$ intervallumban tehát
 +
$$ \int_0^{2\pi} \int_0^\pi |\Psi(r,\vartheta,\varphi)|^2 r^2 \sin \vartheta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\vartheta \,\mathrm{d}\varphi
 +
    \sim \left[r\cdot R(r)\right]^2 \,\mathrm{d}r $$
 +
A legvalószínűbb sugarat $r\cdot R(r)$ szélsőértékhelye adja:
 +
$$ 0 = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \Big(r\cdot R(r)\Big) \right|_{r_\text{lv.}}
 +
    = A_n \left[ n\left(\frac{r_\text{lv.}}{a_0}\right)^{n-1} - \frac{1}{n}\left(\frac{r_\text{lv.}}{a_0}\right)^n \right] e^{\textstyle -\frac{r_\text{lv.}}{n a_0}}, $$
 +
ami alapján $r_\text{lv.}=n^2 a_0$. Az alapállapotú hidrogénatomban a legvalószínűbb sugár éppen a ''Bohr''-sugár.
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2013. június 16., 23:29-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Kvantummechanikai bevezető
Feladatok listája:
  1. Nap felszíni hőmérséklete
  2. Izzólámpa hatásfoka
  3. Fekete test
  4. Tantál kilépési munkája
  5. Compton-szórás
  6. Compton-szórás szabadon
  7. Fluxuskvantálás
  8. Bohr-modell
  9. Rel. tömegnövekedés
  10. Kéttest korrekció
  11. Visszalökődés
  12. Korrespondencia-elv
  13. Foton és elektron Ekin(k)
  14. Schrödinger-egyenlet
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Határozza meg a Schrödinger-féle hidrogénatomban az elektron alapállapoti hullámfüggvényét! Számítsa ki, hogy protontól milyen távolságban található meg az elektron a legnagyobb valószínűséggel!

Megoldás

A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\Psi + V(r)\Psi = E\Psi, \]

aminek megoldását \setbox0\hbox{$\Psi(r,\vartheta,\varphi)=R(r)\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alakban érdemes keresni. A megoldás abszolútértéknégyzete (\setbox0\hbox{$|\Psi|^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) az elektron megtalálási valószínűsége egy adott térfogatelemben. A Schrödinger-egyenlet megoldása a szögfüggő tényezők levezetésével megtalálható a kibővített óravázlat 34-38. oldalán.

A sugárirányú differenciálegyenletet \setbox0\hbox{$Q(r)=r\cdot R(r)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% helyettesítéssel megoldva a sugárirányú eloszlás

\[ R(r) = A_n \left(\frac{r}{a_0}\right)^{n-1} e^{\textstyle -\frac{r}{n a_0}}, \]

ahol \setbox0\hbox{$A_n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egy, a pályára jellemző normáló tényező, hogy a megtalálási valószínűség teljes térre vett integrálja \setbox0\hbox{$1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% legyen. A másik két eloszlás értéke a feladat megoldásában nem játszik szerepet, mert a szögek szerint kiintegrálva ugyanazt a sugártól független állandót adják.

Az elektron megtalálási valószínűsége \setbox0\hbox{$[r,r+\mathrm{d}r]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% intervallumban tehát

\[ \int_0^{2\pi} \int_0^\pi |\Psi(r,\vartheta,\varphi)|^2 r^2 \sin \vartheta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\vartheta \,\mathrm{d}\varphi      \sim \left[r\cdot R(r)\right]^2 \,\mathrm{d}r \]

A legvalószínűbb sugarat \setbox0\hbox{$r\cdot R(r)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szélsőértékhelye adja:

\[ 0 = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \Big(r\cdot R(r)\Big) \right|_{r_\text{lv.}}     = A_n \left[ n\left(\frac{r_\text{lv.}}{a_0}\right)^{n-1} - \frac{1}{n}\left(\frac{r_\text{lv.}}{a_0}\right)^n \right] e^{\textstyle -\frac{r_\text{lv.}}{n a_0}}, \]

ami alapján \setbox0\hbox{$r_\text{lv.}=n^2 a_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Az alapállapotú hidrogénatomban a legvalószínűbb sugár éppen a Bohr-sugár.