Magnetosztatika példák - Két különböző permeabilitású anyagot tartalmazó koaxiális kábel

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Magnetosztatika - Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
Feladatok listája:
  1. B és H fluxusa mágneses anyag jelenlétében
  2. Változó relatív permeabilitású lemez körül a mágneses fluxus
  3. Toroid mágneses tere
  4. Vasmagos szolenoid mágneses tere
  5. Vasmagos szolenoid mágneses tere 2
  6. Szolenoid tekercs öninduktivitása
  7. Koaxiális kábel öninduktivitása
  8. Tömör hengeres vezető öninduktivitása
  9. Négyzet keresztmetszetű toroid tekercs öninduktivitása
  10. Párhuzamos henger alakú vezetőpár öninduktivitása
  11. Egyenes vezető és vezető keret közti kölcsönös induktivitás
  12. Négyzetes keresztmetszetű toroid forgástengelyében hosszú egyenes vezetővel
  13. Koncentrikus körvezetők öninduktivitása
  14. Két különböző permeabilitású anyagot tartalmazó koaxiális kábel
  15. Toroid tekercs légréses vasmaggal
  16. Különböző permeabilitású anyagokat tartalmazó szalagpár
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú, \setbox0\hbox{$r_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$r_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú koaxiális hengerpár közti teret két különböző \setbox0\hbox{$\mu_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\mu_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% relatív mágneses permeabilitású anyag tölti ki az 1. ábra szerint. A hengerpaláston ellentétes irányban, a tengellyel párhuzamosan folyik \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% felületi áram. Az áram a belső henger külső felületén folyik, a külső henger vastagságát pedig elhanyagolhatjuk. Mekkora a rendszer öninduktivitása?
    KFGY2-8-14uj.png

Megoldás


Áramjárta vezető rendszer \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% öninduktivitása, és az áramok keltette mágneses tér \setbox0\hbox{$E_{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiája között az alábbi összefüggés írható fel.

\[E_{m}=\dfrac{1}{2}LI^2\]

Tehát, ha meghatározzuk a tér energiáját, kiszámíthatjuk az öninduktivitást. Ehhez azonban a tér minden pontjában ismernünk kell a mágneses teret. Az Amper-féle gerjesztési törvényt használva megállapíthatjuk, hogy a hengerpalástokon ellentétes irányokban folyó áramok sem a belső henger belsejében, sem pedig a külső hengerpaláston kívül nem indukálhatnak mágneses teret. Mágneses tér csak a két koaxiális vezető felület között található. Vegyük fel az ábrán látható zárt görbét, /\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú kört/ és alkalmazzuk rá az Amper-féle gerjesztési törvényt.

\[ I= \oint \overline{H}d\overline{l}=H_{1}r\pi+H_{2}r\pi\]

Ahol \setbox0\hbox{$H_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$H_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a két közegben mérhető mágneses gerjesztés értéke. Kihasználva azt, hogy a mágneses indukció közeghatárra merőleges komponense folytonosan megy át a közeghatáron, a gerjesztési törvény az alábbiak szerint alakítható.


\[I=\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{1}}r\pi+\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{2}}r\pi\]

Ebből kifejezhető a mágneses indukció:

\[ B=\dfrac{\mu_{0}I}{r\pi}\dfrac{\mu_{1}\mu_{2}}{\mu_{1}+\mu_{2}} \]

A mágnes indukció ismeretében explicit módon kifejezhetőek a két közegben fellépő mágneses gerjesztés értékei a középvonaltól mért \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolság függvényében:

\[ H_{1}=\dfrac{I}{r\pi}\dfrac{\mu_{2}}{\mu_{1}+\mu_{2}} \]
\[ H_{2}=\dfrac{I}{r\pi}\dfrac{\mu_{1}}{\mu_{1}+\mu_{2}} \]

A fentiek ismeretében meghatározható a két térrész mágneses energia sűrűsége a \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényében.

\[e_{1}=\dfrac{1}{2}H_{1}B=\dfrac{I^2\mu_{0}\mu_{1}\mu_{2}^2}{2\pi^2(\mu_{1}+\mu_{2})^2}\dfrac{1}{r^2}\]
\[e_{2}=\dfrac{1}{2}H_{2}B=\dfrac{I^2\mu_{0}\mu_{1}^2\mu_{2}}{2\pi^2(\mu_{1}+\mu_{2})^2}\dfrac{1}{r^2}\]

Az energiasűrűséget a két hengerfelület közti térfogatra integrálva meghatározhatjuk a mágneses tér energiáját.

\[ E_m=l\int\limits_{r_{1}}^{r_{2}} \int\limits_{0}^{\pi} e_{1}rd\varphi dr + l\int\limits_{r_{1}}^{r_{2}} \int\limits_{\pi}^{2\pi} e_{2}rd\varphi dr = l\pi \int\limits_{r_{1}}^{r_{2}} (e_{1}+e_{1})r dr\]

Behelyettesítve az \setbox0\hbox{$e_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$e_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energia sűrűségeket az egyszerűsítés után az alábbi integrált kapjuk:

\[E_m=\dfrac{l\mu_0 I^2 \mu_1 \mu_2}{2\pi(\mu_1+\mu_2)} \int\limits_{r_{1}}^{r_{2}} \dfrac{1}{r} dr \]

A mágneses tér energiája tehát:

\[E_m=\dfrac{l\mu_0 I^2 \mu_1 \mu_2}{2\pi(\mu_1+\mu_2)} ln \dfrac{r_{2}}{r_{1}}\]

Az elrendezés önindukciós együtthatója a tér energiájából az alábbi egyenlet segítségével határozható meg.


\[E_{m}= \dfrac{l\mu_0 I^2 \mu_1 \mu_2}{2\pi(\mu_1+\mu_2)} ln \dfrac{r_{2}}{r_{1}} =\dfrac{1}{2}LI^2\]

Az önindukciós együttható:

\[L= \dfrac{l\mu_0 \mu_1 \mu_2}{\pi(\mu_1+\mu_2)} ln \dfrac{r_{2}}{r_{1}}\]