Magnetosztatika példák - Párhuzamos henger alakú vezetőpár öninduktivitása forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Magnetosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Magnetosztatika - Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#Mekkora az öninduktivitása két igen hosszú, párhuzamos, $R$ sugarú hengerből álló vezetőpár $l$ hosszúságú darabjának, ha a vezetékek $d$ távolságra vannak egymástól? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$L=L_1+2L_2=\dfrac{\mu_0 l}{\pi} ln \left( \dfrac{d-R}{R} \right)+\dfrac{\mu_0 l}{2\pi}$$}}
</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>
Az egyik hengeres vezetőben folyjon $I$ áram a vezető tengelye mentén, míg a másik hengerben folyjon ugyanakkora, de ellentétes irányú áram. Az önindukció számításához szükség lesz az 1. ábrán besatírozott terület fluxusára.
Egy $I$ áram által átjárt vezeték körül a mágneses indukció nagysága az Amper-féle gerjesztési törvény segítségével könnyen kiszámítható:

$$B_{(r)}=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$$

Ennek fluxusa az $l$ hosszúságú, $R$ sugarú hengerek által közrezárt területen:

$$\phi=\int{}BdA=a\int_{R}^{d-R}B_{r}dr=\dfrac{\mu_0 lI}{2\pi}\int_{R}^{d-R}\dfrac{1}{r}dr=\dfrac{\mu_0 lI}{2\pi} ln \left( \dfrac{d-R}{R} \right)$$

Ezzel megkaptuk a két vezeték által határolt térben az egyik vezeték által keltett fluxust. A rendszer szimmetriája miatt a másik vezeték fluxusjáruléka szintén $\phi$. Könnyen belátható, hogy ezen két fluxusjárulék összeadódik, így az ábrán satírozott terület összes fluxusa:

$$\Phi=2\phi=\dfrac{\mu_0 lI}{\pi} ln \left( \dfrac{d-R}{R} \right)$$
[[Kép:KFGY2-8-10.png|none|400px]]

Tehát a rendszer önindukciója:

$$L_1=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 l}{\pi} ln \left( \dfrac{d-R}{R} \right)$$

Megjegyzés: A fenti eredmény elhanyagolja a vezetékek belsejében mérhető mágneses tér önindukció-járulékát. A [[Magnetosztatika példák - Tömör hengeres vezető öninduktivitása|Tömör hengeres vezető öninduktivitása]] feladat megoldása alapján tudjuk, hogy egy $l$ hosszúságú, $R$ sugarú vezetékdarab belsejébe zárt tér által okozott önindukció:

$$L_2=\dfrac{\mu_0 l}{4\pi}$$

Ennek felhasználásával a jelenlegi feladat eredményét pontosíthatjuk, ha a kapott $L_1$ eredményhez hozzáadjuk a két vezeték belsejének indukció járulékát.

$$L=L_1+2L_2=\dfrac{\mu_0 l}{\pi} ln \left( \dfrac{d-R}{R} \right)+\dfrac{\mu_0 l}{2\pi}$$

</wlatex>
</noinclude>