Mechanika - Forgó henger lejtőn húzva

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Merev testek II.
Feladatok listája:
  1. Korongon mozgatott tömegpont
  2. Lelógatott korong
  3. Lelógatott korong tárcsával és tömeggel
  4. Lépcsős csiga
  5. Tömeg rugón súlyos csigával
  6. Korong vízszintes talajon húzva
  7. Henger lejtőn
  8. Három test lejtőn
  9. Forgó henger lejtőn húzva
  10. Hokikorong és rúd ütközése
  11. Hokikorong és rúd ütközése II
  12. Felbillenés lejtőn
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*3.3.18.) \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú, \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű homogén körhenger kerületére fonalat csavarunk. A hengert ezután \setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hajlásszögű lejtőre helyezzük. A hengert elengedve a fonalat \setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% erővel húzzuk felfelé. Mekkora kötélerő biztosítja azt, hogy a henger csak forgó mozgást végezzen?
    3.3.18.svg

Megoldás

Ha a henger csak forgómozgást végez, akkor a felülete a lejtőn csúszik, valamint tömegközéppontja nem gyorsul. A mozgásegyenletek:
\[ma=mg\sin{\alpha}-\mu mg\cos{\alpha}-F=0\]
\[\theta\beta=FR-\mu mg\cos{\alpha}R\]
Az első egyenletből
\[F=mg\sin{\alpha}-\mu mg\cos{\alpha}>0,\]
mert a kötélerő csak pozitív lehet. Ennek feltétele \setbox0\hbox{$\mu <\tan\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ezt felhasználva a második egyenletből pedig
\[\beta=\frac{2g}R(\sin{\alpha}-2\mu\cos{\alpha}),\]
ami csak speciális esetben nulla.