Mechanika - Forgó lemez közegellenállással

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Merev testek I.
Feladatok listája:
  1. Egyenletesen gyorsuló forgás
  2. Forgatónyomaték gyorsuló forgásnál
  3. Lendkerék fékezése
  4. Gömb felületén lévő tengellyel
  5. Korong fonállal gyorsítva
  6. Pálca mint inga
  7. Korong mint inga
  8. Forgó lemez közegellenállással
  9. Oldalra húzott rúd egyensúlya
  10. Falhoz támasztott létra
  11. Korongba lőtt golyó
  12. Összekapcsolódó lendkerekek
  13. Súrlódó tárcsák
  14. Szíjhajtás
  15. Tehetetlenségi nyomaték számítás
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (**3.2.10.) Egy \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% oldalhosszúságú \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű téglalap alakú lemez függőlegesen elhelyezkedő \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% oldala mentén levő tengely körül forog. A \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban szögsebessége \setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A lemez felületére a közegellenállás folytán erő hat, mely a mozgását akadályozza. Egy felületelemre ható erő arányos a felületelem sebességének négyzetével és a felületelem nagyságával, az arányossági tényező \setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    a) Mekkora a \setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ik időpillanatban a tengelytől \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságban elhelyezkedő \setbox0\hbox{$\text{dA}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% felületelemre ható, közegellenállásból származó erő?
    b) Mekkora a lemezre ható nyomaték nagysága?
    c) Hogyan változik a lemez szöggyorsulása és szögsebessége az idő függvényében?
    d) Mekkora és hol van a támadáspontja az eredő közegellenállási erőnek?

Megoldás

Az elemi felületre ható közegellenállási erő nagysága
\[\text{d}F=kv^2(t)\text{d}A=kr^2\omega^2(t)\text{d}A\]
Mivel hengerkoordinátákban felírva \setbox0\hbox{$\text{d}A=\text{d}r\text{d}z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, és a közegellenállási erőelemek minden pontban merőlegesek a lapra,
\[\text{d}M=\text{d}F\cdot r,\]
így a teljes forgatónyomaték
\[M=\int\int \text{d}M=\int_0^b\int_0^a rkr^2\omega^2\text{d}r\text{d}z=bk\omega^2\int_0^a r^3\rm{d}r=bk\omega^2(t)\frac{a^4}4\]
Ezzel a lemez mozgásegyenlete
\[bk\frac{a^4}4\omega^2(t)=\theta\beta(t)=\theta\frac{d\omega(t)}{dt},\]
amely szeparálható
\[\frac{a^4bk}{4\theta}dt=\frac{d\omega}{\omega^2}\]
alakba, ezt integrálva \setbox0\hbox{$\tilde t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-tól \setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ig kapjuk a következőt:
\[\frac{a^4bkt}{4\theta}=\left[-\frac1{\tilde{\omega}}\right]_{\omega_0}^{\omega}=\frac1\omega_0-\frac1\omega,\]
ebből
\[\frac1\omega=\frac1\omega_0-\frac{a^4bkt}{4\theta}\]
végül
\[\omega(t)=\frac1{\frac1\omega_0-\frac{a^4bkt}{4\theta}}=\frac{\omega_0}{1-\frac{a^4\omega_0bkt}{4\theta}}\]
Mivel láthatóan \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értéke tetszőleges \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-hoz képest, \setbox0\hbox{$b<<a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%absztrakcióval belátható, hogy a lap tehetetlenségé nyomatéka megegyezik egy \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú, végpontja körül forgatott rúdéval, tehát \setbox0\hbox{$\theta=\frac13ma^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A fenti megoldásban a közegellenállás fékező hatását az biztosítja, ha \setbox0\hbox{$k<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ekkor a nevező mindig pozitív, és \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az idő függvényében csökken \setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ról indulva. \setbox0\hbox{$\omega(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényből a szöggyorsulás időfüggése (amely mindvégig negatív) további idő szerinti deriválással megkapható. Az eredő erő
\[F=bk\omega^2a^3/3\]
és a támadáspont
\[R=\frac MF=\frac3 4 a\]