Mechanika - Gömb felületén lévő tengellyel

A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Gombkoto (vitalap | szerkesztései) 2012. november 8., 14:54-kor történt szerkesztése után volt.

(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Merev testek I.
Feladatok listája:
  1. Egyenletesen gyorsuló forgás
  2. Forgatónyomaték gyorsuló forgásnál
  3. Lendkerék fékezése
  4. Gömb felületén lévő tengellyel
  5. Korong fonállal gyorsítva
  6. Pálca mint inga
  7. Korong mint inga
  8. Forgó lemez közegellenállással
  9. Oldalra húzott rúd egyensúlya
  10. Falhoz támasztott létra
  11. Korongba lőtt golyó
  12. Összekapcsolódó lendkerekek
  13. Súrlódó tárcsák
  14. Szíjhajtás
  15. Tehetetlenségi nyomaték számítás
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (3.2.4.) \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű gömböt egy, sugarának gömbfelület menti végpontján átmenő tengely körül megforgatunk.
    a) Mekkora a gömb adott tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka, ha súlyponti tengelyére vonatkozóan \setbox0\hbox{$\theta_{\text{TKP}}=\frac25mR^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%?
    b) Mekkora nyomatékra van szükség ahhoz, hogy \setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nagyságú szöggyorsulással tudjuk forgásba hozni?
    c) Hogyan kell változni az idő függvényében azon energiaforrás teljesítményének, amely az állandó \setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szöggyorsulást biztosítani képes, ha a gömb a \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban nyugalomból indult?

Megoldás

A megadott tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték a Steiner-tétel szerint
\[\theta=\theta_{\rm{TKP}}+mR^2=\frac75mR^2.\]
A szükséges forgatónyomaték
\[M=\theta\beta=\frac75mR^2\beta.\]
A \setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban szükséges pillanatnyi teljesítmény \setbox0\hbox{$P(t)=\vec{F}(t)\vec{v}(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% analógiájára \setbox0\hbox{$P(t)=\vec{M}(t)\vec{\omega}(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, amelyben a vektorok most egyirányúak és \setbox0\hbox{$\omega=\beta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, így
\[P(t)=\frac75mR^2\beta^2t.\]
A pillanatnyi teljesítmény megkapható az
\[E_{\text{forg}}=\frac12\theta\omega^2(t)\]
mozgási/forgási energia kifejezés idő szerinti deriválásából is.