Mechanika - Korong vízszintes talajon húzva

Feladat

1. (*3.3.13.) Vízszintes lapon álló $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű koronghoz erősített elhanyagolható tömegű tárcsa kerületére csavart fonalat vízszintes irányban állandó $\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erővel húzunk. A korong sugara $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a tárcsa sugara $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.(A fonalat a korong középpontja fölött húzzuk.)
   

   a) Mekkora gyorsulással mozog a korong középpontja?

   b) Mi a talaj és a korong között fellépő súrlódási erő szerepe a korong középpontjának gyorsításánál?

   c) Mekkora $\setbox0\hbox{$\mu_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ súrlódási együttható szükséges ahhoz, hogy a korong a talajon csúszás nélkül gördülhessen?

   d) Oldjuk meg a feladatot arra az esetre is, ha a fonalat a korong középpontja alatt húzzuk a talaj síkjával párhuzamosan!

Megoldás

A mozgásegyenletek

$\[ma=F-F_s\]$

és

$\[\theta\beta=\frac12mR^2\cdot\frac aR=Fr+F_sR\]$

feltéve, hogy az ismeretlen nagyságú tapadási súrlódási erő, amely a gördülést biztosítja, ellentétes irányú $\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ húzóerővel. A másik ismeretlenre, a gyorsulásra, a gördülés miatt felírható, hogy $\setbox0\hbox{$a=\beta R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a tapadási súrlódási erőre pedig a $\setbox0\hbox{$|F_s|\leq\mu mg$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ reláció kell teljesüljön. A mozgásegyenletekből a súrlódási erőt kiejtve kapjuk

$\[a=\frac{2F(R+r)}{3mR}\]$

kifejezést, amely pozitív, tehát a korong a rajzon jobbra gördül. A súrlódási erő kifejezése

$\[F_s=F\left(1-\frac{2(R+r)}{3R} \right )\]$

Ha a zárójeles kifejezés pozitív, azaz

$\[1>\frac{2(R+r)}{3R},\]$

akkor a súrlódási erő pozitív, azaz valóban a feltételezett irányú, és a tömegközéppont mozgásegyenletét tekintve fékező jellegű, emiatt $\setbox0\hbox{$a<\frac Fm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A fenti reláció akkor teljesül, ha $\setbox0\hbox{$R>2r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. $\setbox0\hbox{$R<2r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetén a két erő azonos irányú, és $\setbox0\hbox{$a>\frac Fm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ (!), tehát a súrlódási erő segíti a korong gyorsítását. Speciális esetben, ha $\setbox0\hbox{$R=2r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$F_s=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ adódik, tehát súrlódás nélkül is lehet gördülés tetszőleges húzóerő mellett. Egyéb esetekben a húzóerő és a tapadási súrlódási együttható között fenn kell álljon egy reláció. A súrlódási erő kifejezését továbírva

$\[F_s=F\frac{R-2r}{3R},\]$

így

$\[F\frac{|R-2r|}{3R}\leq\mu mg,\]$

amely adott $\setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re az erőt maximálja, adott erő mellett pedig minimumot ad rá nézve. Ha a korong közepe alatt húzzuk a kötelet, a nyomatéki egyenletben az $\setbox0\hbox{$Fr$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tag előjelet vált, ezért a gyorsulás kifejezése most

$\[a=\frac{2F(R-r)}{3mR},\]$

ami továbbra is pozitív, viszont

$\[F_s=F\frac{R+2r}{3R}\]$

mindig pozitív, azaz $\setbox0\hbox{$a<\frac Fm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a súrlódás mindig fékező hatású lesz.

$\[F\frac{R+2r}{3R}\leq\mu mg\]$