Mechanika - Kosárba ejtett test

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Rezgések I.
Feladatok listája:
  1. Rezgések pályaegyenlete
  2. Rugóra akasztott test
  3. Rezgés kezdeti feltételekkel
  4. Rezgés egyensúlyi helyzetből
  5. Rezgő testre rápottyanó
  6. Kosárba ejtett test
  7. Rugókra merőleges rezgés
  8. Inga kétféle rezgésideje
  9. Rezgés ferde rugóval
  10. Kiskocsik rugóval
  11. Függvényalak átalakítása
  12. Eredő rezgés adatai
  13. Adott eredő rezgés
  14. Azonos kitérés ideje
  15. Lebegés
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (6.6.) Egy \setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű kosár \setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% direkciós erejű rugón nyugszik. A kosár felett \setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% magasságból \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű testet ejtünk le, amely rugalmatlanul ütközve a kosárban marad. Milyen amplitúdóval fog rezegni a kosár?

Megoldás

Az ütközés előtt az egyensúlyi helyzet (ahol a gyorsulás nulla) a rugó nyújtatlan hosszától mérve \setbox0\hbox{$x_1=\frac{Mg}k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, mely az ütközés után \setbox0\hbox{$x_2=\frac{(M+m)g}k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re módosul, azaz az ütközés utáni pillanatban a kezdeti kitérés
\[x_2-x_1=\frac{mg}k\]
. Ismerni kell még az ütközés utáni \setbox0\hbox{$v_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebeséget is. Ehhez az ejtés közbeni energiamegaradást és a tökéletesen rugalmatlan ütközés impulzusmegmaradását kell felírni:
\[\frac12mv^2=mgh\]
\[mv=(m+M)v_2\]
Az amplitúdót a rezgési energia mozgási és rugalmas helyzeti energiák összegeként való felírása adja az ütközés utáni pillanatra:
\[\frac12(m+M)v_2^2+\frac12k(x_2-x_1)^2=\frac12kA^2,\]
melyet egyszerűsítve és behelyettesítve az amplitúdó négyzete
\[A^2=\frac{m^2g^2}{k^2}\left(1+\frac{2kh}{g(m+M)}\right).\]