„Mechanika - Lelógatott korong” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő:Gombkötő Kategória:Mechanika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév = …”)
 
(Megoldás)
 
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva)
10. sor: 10. sor:
 
</noinclude><wlatex># (3.3.6.) $R$ sugarú $m$ tömegű korong kerületére csavart fonál végét rögzítjük, és a korongot elengedjük.
 
</noinclude><wlatex># (3.3.6.) $R$ sugarú $m$ tömegű korong kerületére csavart fonál végét rögzítjük, és a korongot elengedjük.
 
#: a) Írjuk le a korong mozgását!
 
#: a) Írjuk le a korong mozgását!
#: b) Mekkora a korong $\omega$ szögsebessége és középpontjának $v$ sebessége, ha a korong kezdősebesség nélkül indult és mozgása során a korongról $l$ hosszúságú fonaldarab csavarodott le? ÁBRA</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\beta=\frac{2g}{3R}$$ $$K=\frac{mg}3$$ $$\omega=\sqrt{\frac{4gl}{3R^2}}$$ $$v=\sqrt{\frac43 gl}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
#: b) Mekkora a korong $\omega$ szögsebessége és középpontjának $v$ sebessége, ha a korong kezdősebesség nélkül indult és mozgása során a korongról $l$ hosszúságú fonaldarab csavarodott le? [[Kép:3.3.6.svg|none|250px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\beta=\frac{2g}{3R}$$ $$K=\frac{mg}3$$ $$\omega=\sqrt{\frac{4gl}{3R^2}}$$ $$v=\sqrt{\frac43 gl}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 +
 
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
<wlatex>A mozgásegyenletek $$ma=mg-K$$ illetve $$\theta_{\rm{TKP}}\beta=KR,$$ ahol $mg$ a korong középpontjában támadó lefelé irányuló nehézségi erő, és $K$ a kerületén támadó, fölfelé irányuló kötélerő, $\theta_{\rm{TKP}}=\frac12mR^2$ pedig a tömegközéppontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték. Az lecsavarodó fonálból adódik, hogy $a=R\beta$. Az egyenleteket $\beta$-ra és $K$-ra megoldva kapjuk $$\beta=\frac{2g}{3R}$$ és $$K=\frac{mg}3$$ megoldásokat. Ha a fonál $l$ hosszon csavarodott le, a tömegközéppont is ennyivel került lejjebb. A gyorsulások viszonya miatt $v=\omega R$, és az energiamegmaradás $$mgl=\frac12 \theta \omega^2$$ ahol $\theta=\frac32 mR^2$ a pillanatnyi forgáspontra nézve. A jobb oldalon álló forgási energia megegyezik a tömegközéppont mozgási, és az akörüli forgási energiával, ahol azonban a tömegközépponti tehetetlenségi nyomatékot kell használni! Végül $$\omega=\sqrt{\frac{4gl}{3R^2}}$$ $$v=\sqrt{\frac43 gl}$$</wlatex>
+
<wlatex>A mozgásegyenletek $$ma=mg-K$$ illetve $$\theta_{\rm{TKP}}\beta=KR,$$ ahol $mg$ a korong középpontjában támadó lefelé irányuló nehézségi erő, és $K$ a kerületén támadó, fölfelé irányuló kötélerő, $\theta_{\rm{TKP}}=\frac12mR^2$ pedig a tömegközéppontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték. Az lecsavarodó fonálból adódik, hogy $a=R\beta$. Az egyenleteket $\beta$-ra és $K$-ra megoldva kapjuk $$\beta=\frac{2g}{3R}$$ és $$K=\frac{mg}3$$ megoldásokat. Ha a fonál $l$ hosszon csavarodott le, a tömegközéppont is ennyivel került lejjebb. A gyorsulások viszonya miatt $v=\omega R$, és az energiamegmaradás $$mgl=\frac12 \theta \omega^2$$ ahol $\theta=\frac32 mR^2$ a pillanatnyi forgáspontra nézve. A jobb oldalon álló forgási energia megegyezik a tömegközéppont mozgási, és az akörüli forgási energiával, ahol azonban a tömegközépponti tehetetlenségi nyomatékot kell használni! Végül $$\omega=\sqrt{\frac{4gl}{3R^2}}$$ $$v=\sqrt{\frac43 gl}$$
 +
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2013. június 20., 11:59-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Merev testek II.
Feladatok listája:
  1. Korongon mozgatott tömegpont
  2. Lelógatott korong
  3. Lelógatott korong tárcsával és tömeggel
  4. Lépcsős csiga
  5. Tömeg rugón súlyos csigával
  6. Korong vízszintes talajon húzva
  7. Henger lejtőn
  8. Három test lejtőn
  9. Forgó henger lejtőn húzva
  10. Hokikorong és rúd ütközése
  11. Hokikorong és rúd ütközése II
  12. Felbillenés lejtőn
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (3.3.6.) \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű korong kerületére csavart fonál végét rögzítjük, és a korongot elengedjük.
    a) Írjuk le a korong mozgását!
    b) Mekkora a korong \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szögsebessége és középpontjának \setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebessége, ha a korong kezdősebesség nélkül indult és mozgása során a korongról \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú fonaldarab csavarodott le?
    3.3.6.svg

Megoldás

A mozgásegyenletek
\[ma=mg-K\]
illetve
\[\theta_{\rm{TKP}}\beta=KR,\]
ahol \setbox0\hbox{$mg$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a korong középpontjában támadó lefelé irányuló nehézségi erő, és \setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a kerületén támadó, fölfelé irányuló kötélerő, \setbox0\hbox{$\theta_{\rm{TKP}}=\frac12mR^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a tömegközéppontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték. Az lecsavarodó fonálból adódik, hogy \setbox0\hbox{$a=R\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Az egyenleteket \setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ra és \setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ra megoldva kapjuk
\[\beta=\frac{2g}{3R}\]
és
\[K=\frac{mg}3\]
megoldásokat. Ha a fonál \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszon csavarodott le, a tömegközéppont is ennyivel került lejjebb. A gyorsulások viszonya miatt \setbox0\hbox{$v=\omega R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, és az energiamegmaradás
\[mgl=\frac12 \theta \omega^2\]
ahol \setbox0\hbox{$\theta=\frac32 mR^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a pillanatnyi forgáspontra nézve. A jobb oldalon álló forgási energia megegyezik a tömegközéppont mozgási, és az akörüli forgási energiával, ahol azonban a tömegközépponti tehetetlenségi nyomatékot kell használni! Végül
\[\omega=\sqrt{\frac{4gl}{3R^2}}\]
\[v=\sqrt{\frac43 gl}\]