Mechanika - Lépcsős csiga

Feladat

1. (*3.3.8.) Az ábrán feltüntetett $\setbox0\hbox{$\theta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tehetetlenségi nyomatékú lépcsős csiga két kötelére $\setbox0\hbox{$m_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$m_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű súlyokat függesztünk. Határozzuk meg a csiga szöggyorsulását, és a kötélágakban ébredő erőket!
   

Megoldás

A mozgásegyenletek:

$\[m_1a_1=m_1g-K_1\]$

$\[m_2a_2=m_2g-K_2\]$

$\[K_1R-K_2r=\theta\beta,\]$

melyekben öt ismeretlen van. Az elrendezésből adódó további egyenletek $\setbox0\hbox{$a_1=R\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$a_2=-r\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Áttérve a szöggyorsulásra és a kötélerőket kiejtve kapjuk

$\[\beta=\frac{m_1gR-m_2gr}{m_1R^2+m_2r^2+\theta},\]$

a többi ismeretlen ebből már megkapható. Vegyük észre, hogy a szöggyorsulás meghatározásához elegendő lett volna az az egyszerűsítés is, hogy az $\setbox0\hbox{$m_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$m_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömeget nulla hosszúságú kötéllel rögzítettnek képzeljük a tárcsán, ugyanis $\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nevezőjében épp az így képzett test tehetetlenségi nyomatéka látható, a számlálóban pedig a két súlyerő nyomatéka a megfelelő szöghelyzetben!