„Mechanika - Pálca mint inga” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő:Gombkötő Kategória:Mechanika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév = …”)
 
 
8. sor: 8. sor:
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># (3.2.6.) Mekkora egy $h$ hosszúságú pálca lengésideje, ha a felső végétől $\frac{h}4$ távolságra levő pontján átmenő tengely körül leng kis szögkitéréssel?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a pálca nyomatéki mozgásegyenletét, majd közelítsük a szögfüggvényeket kis szögekre a Taylor-soruk alapján. A szöggyorsulásra rendezett alakból leolvasható a körfrekvencia négyzete, amiből a lengésidő meghatározható.}}{{Végeredmény|content=$$T=2\pi\sqrt{\frac{7h}{12g}}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
</noinclude><wlatex># (*3.2.6.) Mekkora egy $h$ hosszúságú pálca lengésideje, ha a felső végétől $\frac{h}4$ távolságra levő pontján átmenő tengely körül leng kis szögkitéréssel?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a pálca nyomatéki mozgásegyenletét, majd közelítsük a szögfüggvényeket kis szögekre a Taylor-soruk alapján. A szöggyorsulásra rendezett alakból leolvasható a körfrekvencia négyzete, amiből a lengésidő meghatározható.}}{{Végeredmény|content=$$T=2\pi\sqrt{\frac{7h}{12g}}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
 
<wlatex>A megadott forgástengely a tömegközépponttól is $\frac{h}4$ távolságra van, így a Steiner-tétel szerint a rá vonatkozó tehetetlenségi nyomaték $$\theta=\frac1{12}mh^2+m\left(\frac{h}4\right)^2=\frac7{48}mh^2.$$ A végponti tehetetlenségi nyomatékból kiindulni helytelen lett volna, mert sem az, sem a megadott forgáspont nem tömegközéppont! A tömegközéppontban ható súlyerő forgatónyomatéka $$M(\alpha)=mg\frac{h}4sin\alpha\approx mg\frac{h}4\alpha$$ a kis szögek miatt. Ezzel a mozgásegyenlet $$-mg\frac{h}4\alpha=\frac7{48}mh^2\ddot\alpha,$$ egyszerűsítve $$\ddot\alpha=-\frac{12g}{7h}\alpha=-\omega^2\alpha,$$ azaz valóban a harmonikus rezgés mozgásegyenletét kaptuk. Ebből a rezgés körfrekvenciáját leolvasva a periódusidőre adódik $$T=2\pi\sqrt{\frac{7h}{12g}}$$.</wlatex>
 
<wlatex>A megadott forgástengely a tömegközépponttól is $\frac{h}4$ távolságra van, így a Steiner-tétel szerint a rá vonatkozó tehetetlenségi nyomaték $$\theta=\frac1{12}mh^2+m\left(\frac{h}4\right)^2=\frac7{48}mh^2.$$ A végponti tehetetlenségi nyomatékból kiindulni helytelen lett volna, mert sem az, sem a megadott forgáspont nem tömegközéppont! A tömegközéppontban ható súlyerő forgatónyomatéka $$M(\alpha)=mg\frac{h}4sin\alpha\approx mg\frac{h}4\alpha$$ a kis szögek miatt. Ezzel a mozgásegyenlet $$-mg\frac{h}4\alpha=\frac7{48}mh^2\ddot\alpha,$$ egyszerűsítve $$\ddot\alpha=-\frac{12g}{7h}\alpha=-\omega^2\alpha,$$ azaz valóban a harmonikus rezgés mozgásegyenletét kaptuk. Ebből a rezgés körfrekvenciáját leolvasva a periódusidőre adódik $$T=2\pi\sqrt{\frac{7h}{12g}}$$.</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2012. november 8., 15:16-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Merev testek I.
Feladatok listája:
  1. Egyenletesen gyorsuló forgás
  2. Forgatónyomaték gyorsuló forgásnál
  3. Lendkerék fékezése
  4. Gömb felületén lévő tengellyel
  5. Korong fonállal gyorsítva
  6. Pálca mint inga
  7. Korong mint inga
  8. Forgó lemez közegellenállással
  9. Oldalra húzott rúd egyensúlya
  10. Falhoz támasztott létra
  11. Korongba lőtt golyó
  12. Összekapcsolódó lendkerekek
  13. Súrlódó tárcsák
  14. Szíjhajtás
  15. Tehetetlenségi nyomaték számítás
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*3.2.6.) Mekkora egy \setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú pálca lengésideje, ha a felső végétől \setbox0\hbox{$\frac{h}4$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra levő pontján átmenő tengely körül leng kis szögkitéréssel?

Megoldás

A megadott forgástengely a tömegközépponttól is \setbox0\hbox{$\frac{h}4$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra van, így a Steiner-tétel szerint a rá vonatkozó tehetetlenségi nyomaték
\[\theta=\frac1{12}mh^2+m\left(\frac{h}4\right)^2=\frac7{48}mh^2.\]
A végponti tehetetlenségi nyomatékból kiindulni helytelen lett volna, mert sem az, sem a megadott forgáspont nem tömegközéppont! A tömegközéppontban ható súlyerő forgatónyomatéka
\[M(\alpha)=mg\frac{h}4sin\alpha\approx mg\frac{h}4\alpha\]
a kis szögek miatt. Ezzel a mozgásegyenlet
\[-mg\frac{h}4\alpha=\frac7{48}mh^2\ddot\alpha,\]
egyszerűsítve
\[\ddot\alpha=-\frac{12g}{7h}\alpha=-\omega^2\alpha,\]
azaz valóban a harmonikus rezgés mozgásegyenletét kaptuk. Ebből a rezgés körfrekvenciáját leolvasva a periódusidőre adódik
\[T=2\pi\sqrt{\frac{7h}{12g}}\]
.