Mechanika - Rétegezett folyadékok

Feladat

1. (5.5.) Egy edényben lévő $\setbox0\hbox{$\rho_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sűrűségű folyadék fölé $\setbox0\hbox{$\rho_2<\rho_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sűrűségű folyadékot rétegeznek. A két folyadék határán egy $\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatú, $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sűrűségű test lebeg. A test térfogatának mekkora része merül a nagyobb sűrűségű folyadékba?

Megoldás

Legyen $\setbox0\hbox{$V_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az alsó folyadékba bemerülő rész térfogata, $\setbox0\hbox{$V_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a felső folyadékrétegben lévőé, és $\setbox0\hbox{$V=V_1+V_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az összes térfogat. A súlyerő

$\[F=\rho(V_1+V_2)g,\]$

a felhajtóerő pedig

$\[F_{fel}=\rho_2V_2g+\rho_1V_1g,\]$

és az egyensúly miatt a kettő egyenlő. Ebből $\setbox0\hbox{$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\rho-\rho_2}{\rho_1-\rho}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A teljes térfogathoz viszonyított arányhoz:

$\[V=V_1+V_1\frac{V_2}{V_1}=V_1\left(1+\frac{V_2}{V_1}\right)\]$

, melybe az előző hányados reciprokát behelyettesítve kapjuk:

$\[V_1=\frac{\rho-\rho_2}{\rho_1-\rho_2}V\]$