Mechanika - Relativisztikus Doppler mechanikai hullámra

A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Gombkoto (vitalap | szerkesztései) 2013. december 10., 11:18-kor történt szerkesztése után volt.

(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Hullámok
Feladatok listája:
  1. Adatok hullámfüggvényből
  2. Hullámfüggvény 1.
  3. Hullámfüggvény 2.
  4. Longitudinális hullám
  5. Két transzverzális hullám
  6. Állóhullámok sípban
  7. Fejhullám
  8. Felharmonikusok Dopplere
  9. Mozgó hangvilla falnál
  10. Doppler ferde mozgásnál
  11. Kétmotoros repülő Dopplere
  12. Gömbhullám
  13. Húr és hangvilla
  14. Energia húrdarabban
  15. Csillapodó gömbhullám
  16. Relativisztikus Doppler mechanikai hullámra
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (**7.8.) Egy \setbox0\hbox{$\Psi=A\cos(\omega t-kx)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alakú rugalmas síkhullám \setbox0\hbox{$c^*$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességgel terjed a \setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% közegben. Határozzuk meg ennek a hullámnak a matematikai alakját abban a \setbox0\hbox{$K'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% rendszerben, amely az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tengely irányában a \setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% közeghez képest \setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességgel halad, mind nem-relativisztikus, mind relativisztikus esetben!

Megoldás

Nem-relativisztikus esetben a koordináta-transzformációk
\[t=t'\]
\[x=x'+vt\]
Ezeket beírva a hullámfüggvény argumentumába a \setbox0\hbox{$t'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel és \setbox0\hbox{$x'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel arányos tényezőkből az alábbiak leolvashatók le:
\[k'=k\]
\[\omega'=\omega-vk,\]
így a hullámhossz nem változik, a frekvencia és a terjedési sebesség viszont igen:
\[f'=f\left(\frac{c^*-v}{c^*}\right)=f\left(1-\frac v{c^*}\right),\]
azaz mozgó megfigyelő esetén ez a Doppler-hatás eredménye az észlelt frekvenciára, továbbá
\[(c^*)'=c^*-v\]
Relativisztikus esetben a Lorentz-transzformáció képleteit kell alkalmazni:
\[x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]
\[t=\frac{t'+\frac v{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\]
ahol \setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a fénysebesség. Ezeket beírva a hullámfüggvény argumentumába a \setbox0\hbox{$t'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel és \setbox0\hbox{$x'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel arányos tényezőkből az alábbiak leolvashatók le:
\[k'=\frac{k-\frac v{c^2}\omega}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{k(1-\frac{vc^*}{c^2})}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]
\[\omega'=\frac{\omega-kv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{\omega(1-\frac v{c^*})}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\]
tehát az észlelt frekvencia és a hullámszám is más. Ezek következtében az észlelt terjedési sebesség
\[(c^*)'=\frac{\omega'}{k'}=\frac{\omega(1-v/c^*)}{k(1-vc^*/c^2)}=c^*\frac{1-v/c^*}{1-vc^*/c^2}=\frac{c^*-v}{1-\frac{vc^*}{c^2}},\]
amely megfelel a relativisztikus sebességösszeadás szabályainak. Érdemes megjegyezni, hogy a \setbox0\hbox{$c^*=c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetben visszakapjuk az elektromágneses hullámokra érvényes Doppler-képleteket. Ha a forrásnak is megengedtünk volna mozgást, akkor még bonyolultabb relativisztikus összefüggés kapható rugalmas hullámokra. Ez kis sebességek esetén visszaadja a nem-relativisztikus összefüggést, másrészt \setbox0\hbox{$c^*=c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetben úgy alakul át, hogy csak a forrás és a megfigyelő relatív sebessége számít, ha azt a relativisztikus sebességöszeadás szerint határozzuk meg.

(Bővebben: http://mathpages.com/rr/s2-04/2-04.htm)