„Mechanika - Rezgés ferde rugóval” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Megoldás)
(Feladat)
 
8. sor: 8. sor:
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># (*6.14.) Az ábrán látható $m$ tömegű test a vízszintes rúdon súrlódás nélkül mozoghat. A hozzá kapcsolódó rugó másik végpontját a rúdtól $h$ távolságra rögzítjük. A rugó nyugalmi hossza $l_0$, rugóállandója $D$. Határozzuk meg az egyensúlyi helyzet körüli kis rezgések frekvenciáját különböző $h$ távolságok esetén! Vizsgáljuk meg a $h\rightarrow 0$ és $h\rightarrow l_0$ határeseteket! ÁBRA</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a rugó hosszváltozásás pontosan a Pitagorasz-tétel segítségével, majd közelítsük kis változásokra. Ne felejtsük el a rugóerőt a mozgás irányára vetíteni!}}{{Végeredmény|content=Az effektív rugóállandó $$D_{\rm{eff}}=D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2},$$ ezzel számolható a frekvencia az ismert összefüggéssel.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
</noinclude><wlatex># (*6.14.) Az ábrán látható $m$ tömegű test a vízszintes rúdon súrlódás nélkül mozoghat. A hozzá kapcsolódó rugó másik végpontját a rúdtól $h$ távolságra rögzítjük. A rugó nyugalmi hossza $l_0$, rugóállandója $D$. Határozzuk meg az egyensúlyi helyzet körüli kis rezgések frekvenciáját különböző $h$ távolságok esetén! Vizsgáljuk meg a $h\rightarrow 0$ és $h\rightarrow l_0$ határeseteket! [[Kép:Kfgy1_6_14.svg |none|250px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a rugó hosszváltozásás pontosan a Pitagorasz-tétel segítségével, majd közelítsük kis változásokra. Ne felejtsük el a rugóerőt a mozgás irányára vetíteni!}}{{Végeredmény|content=Az effektív rugóállandó $$D_{\rm{eff}}=D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2},$$ ezzel számolható a frekvencia az ismert összefüggéssel.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 +
 
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
 
<wlatex>A 6.9. feladathoz hasonlóan meg lehet határozni egy effektív rugóállandót. A rugó nyújtatlan állapotában a test legyen $x_0$ távolságra a rúd kiszemelt pontjától: $$h^2+x_0^2=l_0^2$$ Ez egyben az egyensúlyi helyzet, tehát itt a rugóerő $F_r=0$. Ebből $\rm dx\ll x_0$ mértékben kimozdítva a rugó hossza $l$-re változik, melyre $h^2+(x_0+\rm dx)^2=l^2=(l_0+\rm dl)^2$. Keressük a rugó $\rm dl$ kis hosszváltozását $\rm dx$-ben elsőrendű közelítésben. Az előbbi Pitagorasz-tételben a zárójeleket bontva a másodrendben kicsi tagokat elhagyva kapjuk: $2x_0\rm dx=2l_0\rm dl$, azaz $$\rm dl=\frac{x_0}{l_0}\rm dx=\cos{\alpha}\rm dx,$$ ahol $\alpha$ a rugó és a rúd által bezárt szög. Ez utóbbi összefüggést egy megfelelő ábrából is leolvashattuk volna. Ezzel a rugóerő kis kitérésekre közelített alakja $$F_r=-D\rm dl=-D\frac{x_0}{l_0}\rm dx,$$ melynek rúd irányú $F_x$ komponense az egyedüli erő abban az irányban, tehát a mozgásegyenlet $$m\ddot x=F_x=F_r\cos{\alpha}=F_r\frac{x_0}{l_0}=-D\frac{x_0^2}{l_0^2}\rm dx=-D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2}\rm dx,$$ vagyis az effektív rugóállandó $$D_{\rm{eff}}=D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2}$$ Ez $h=0$ esetén visszaadja $D$-t, $h=l_0$ esetén pedig nulla, azaz nem alakul ki harmonikus rezgés kis kitéréseknél[[Kép:Kfgy1_06_6.14jo.svg|none|250px]].</wlatex>
 
<wlatex>A 6.9. feladathoz hasonlóan meg lehet határozni egy effektív rugóállandót. A rugó nyújtatlan állapotában a test legyen $x_0$ távolságra a rúd kiszemelt pontjától: $$h^2+x_0^2=l_0^2$$ Ez egyben az egyensúlyi helyzet, tehát itt a rugóerő $F_r=0$. Ebből $\rm dx\ll x_0$ mértékben kimozdítva a rugó hossza $l$-re változik, melyre $h^2+(x_0+\rm dx)^2=l^2=(l_0+\rm dl)^2$. Keressük a rugó $\rm dl$ kis hosszváltozását $\rm dx$-ben elsőrendű közelítésben. Az előbbi Pitagorasz-tételben a zárójeleket bontva a másodrendben kicsi tagokat elhagyva kapjuk: $2x_0\rm dx=2l_0\rm dl$, azaz $$\rm dl=\frac{x_0}{l_0}\rm dx=\cos{\alpha}\rm dx,$$ ahol $\alpha$ a rugó és a rúd által bezárt szög. Ez utóbbi összefüggést egy megfelelő ábrából is leolvashattuk volna. Ezzel a rugóerő kis kitérésekre közelített alakja $$F_r=-D\rm dl=-D\frac{x_0}{l_0}\rm dx,$$ melynek rúd irányú $F_x$ komponense az egyedüli erő abban az irányban, tehát a mozgásegyenlet $$m\ddot x=F_x=F_r\cos{\alpha}=F_r\frac{x_0}{l_0}=-D\frac{x_0^2}{l_0^2}\rm dx=-D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2}\rm dx,$$ vagyis az effektív rugóállandó $$D_{\rm{eff}}=D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2}$$ Ez $h=0$ esetén visszaadja $D$-t, $h=l_0$ esetén pedig nulla, azaz nem alakul ki harmonikus rezgés kis kitéréseknél[[Kép:Kfgy1_06_6.14jo.svg|none|250px]].</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2013. június 24., 21:18-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Rezgések I.
Feladatok listája:
  1. Rezgések pályaegyenlete
  2. Rugóra akasztott test
  3. Rezgés kezdeti feltételekkel
  4. Rezgés egyensúlyi helyzetből
  5. Rezgő testre rápottyanó
  6. Kosárba ejtett test
  7. Rugókra merőleges rezgés
  8. Inga kétféle rezgésideje
  9. Rezgés ferde rugóval
  10. Kiskocsik rugóval
  11. Függvényalak átalakítása
  12. Eredő rezgés adatai
  13. Adott eredő rezgés
  14. Azonos kitérés ideje
  15. Lebegés
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*6.14.) Az ábrán látható \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű test a vízszintes rúdon súrlódás nélkül mozoghat. A hozzá kapcsolódó rugó másik végpontját a rúdtól \setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra rögzítjük. A rugó nyugalmi hossza \setbox0\hbox{$l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, rugóállandója \setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Határozzuk meg az egyensúlyi helyzet körüli kis rezgések frekvenciáját különböző \setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságok esetén! Vizsgáljuk meg a \setbox0\hbox{$h\rightarrow 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$h\rightarrow l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% határeseteket!
    Kfgy1 6 14.svg

Megoldás

A 6.9. feladathoz hasonlóan meg lehet határozni egy effektív rugóállandót. A rugó nyújtatlan állapotában a test legyen \setbox0\hbox{$x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra a rúd kiszemelt pontjától:
\[h^2+x_0^2=l_0^2\]
Ez egyben az egyensúlyi helyzet, tehát itt a rugóerő \setbox0\hbox{$F_r=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ebből \setbox0\hbox{$\rm dx\ll x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% mértékben kimozdítva a rugó hossza \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re változik, melyre \setbox0\hbox{$h^2+(x_0+\rm dx)^2=l^2=(l_0+\rm dl)^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Keressük a rugó \setbox0\hbox{$\rm dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kis hosszváltozását \setbox0\hbox{$\rm dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ben elsőrendű közelítésben. Az előbbi Pitagorasz-tételben a zárójeleket bontva a másodrendben kicsi tagokat elhagyva kapjuk: \setbox0\hbox{$2x_0\rm dx=2l_0\rm dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, azaz
\[\rm dl=\frac{x_0}{l_0}\rm dx=\cos{\alpha}\rm dx,\]
ahol \setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a rugó és a rúd által bezárt szög. Ez utóbbi összefüggést egy megfelelő ábrából is leolvashattuk volna. Ezzel a rugóerő kis kitérésekre közelített alakja
\[F_r=-D\rm dl=-D\frac{x_0}{l_0}\rm dx,\]
melynek rúd irányú \setbox0\hbox{$F_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% komponense az egyedüli erő abban az irányban, tehát a mozgásegyenlet
\[m\ddot x=F_x=F_r\cos{\alpha}=F_r\frac{x_0}{l_0}=-D\frac{x_0^2}{l_0^2}\rm dx=-D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2}\rm dx,\]
vagyis az effektív rugóállandó
\[D_{\rm{eff}}=D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2}\]
Ez \setbox0\hbox{$h=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén visszaadja \setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t, \setbox0\hbox{$h=l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén pedig nulla, azaz nem alakul ki harmonikus rezgés kis kitéréseknél
Kfgy1 06 6.14jo.svg
.