Mechanika - Rezgő merev rúd feszültségállapota

A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Gombkoto (vitalap | szerkesztései) 2014. január 13., 15:54-kor történt szerkesztése után volt.

(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Rugalmasság, folyadékok
Feladatok listája:
  1. Tengerbe lógatott drótkötél
  2. Fémhuzal önsúllyal
  3. Rugalmas energia sűrűsége
  4. Rezgő merev rúd feszültségállapota
  5. Rétegezett folyadékok
  6. Vízbe merített farúd
  7. Medencefal terhelése
  8. Fagolyó vízcsőben
  9. Forgó folyadék felszíne
  10. Folyadékóra
  11. Kifolyás sebessége
  12. Lamináris áramlás
  13. Jegesmedve jégtáblán
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*5.15.) Egy \setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sűrűségű, \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% keresztmetszetű és \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú homogén merev rudat az ábra szerint két rugó közé teszünk. A rúd a rugók egyenesében rezeghet, például egy súrlódásmentes csőben, és egyensúlyi helyzetében mindkét rugó nyújtatlan. Bizonyítsuk be, hogy a mechanikai feszültség a rúd mentén egyenletesen változik és tetszőleges helyen nézve rezgést végez. Hol van mindenkor feszültségmentes keresztmetszet, és hol vannak szélsőértékek a feszültségben?
    Kfgy1-5-15.svg

Megoldás

Kfgy1-5-15M2.svg
A rúd egy tetszőleges kis \setbox0\hbox{$dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú darabjának mozgásegyenlete
\[a(x,t)dm=a(x,t)\rho Adx=\sigma(x+dx,t)A-\sigma(x,t)A=d\sigma A=F(x+dx,t)+F(x,t),\]
ahol a két erő azonos előjelű feszültségek esetén ellentétes előjelű, mivel a darabka két oldalán hatnak. (Habár a modellünk merev test, ezek az erők a valóságban rugalmas eredetűek.) Ebből \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-val egyszerűsítve és \setbox0\hbox{$dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-el "átosztva" a
\[\rho a(x,t)=\frac{d\sigma(x,t)}{dx}\]
egyenletet kapjuk. Mivel a rúd merev, a gyorsulása helyfüggetlen, így \setbox0\hbox{$a(x,t)=a(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a deformáció mindenhol nulla (a Young modulus ebben a közelítésben végtelen, ahogy a rugalmas hullám terjedési sebessége is), a mechanikai feszültség viszont véges, és ugyanolyan jelleggel rezeg időben, ahogy a rúd kitérése és a vele arányos gyorsulása is. Továbbá a hely függvényében a feszültség csak lineáris lehet a gyorsulás hely szerint állandósága miatt. A \setbox0\hbox{$\sigma(x,t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% változó szerinti meredeksége időben folyamatosan változik, rezeg. Ha a rudat \setbox0\hbox{$\Delta x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% mértékben kimozdítjuk az egyensúlyi helyzetéből, az egyik rugó összenyomódik, a másik megnyúlik, így a rúd egyik vége nyomott, a másik húzott állapotban lesz, azaz a mechanika feszültség a rúd végein ellentétes előjelű, és az erősebb rugónál abszolút értékben nagyobb. Valahol a rúd mentén tehát a feszültség szükségképpen nulla, és ez nem feltétlenül a rúd közepén van, hanem a rúd hosszát a rugóállandók arányában kell felosztani. Ezen a helyen a feszültség viszont minden időpontban nulla! A feszültség a szélső értékeit végeredményben a rúd végein veszi fel.
Kfgy1-5-15M.svg