Mechanika - Rugók kapcsolása

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Rezgések I.
Feladatok listája:
  1. Rezgések pályaegyenlete
  2. Rugóra akasztott test
  3. Rezgés kezdeti feltételekkel
  4. Rezgés egyensúlyi helyzetből
  5. Rezgő testre rápottyanó
  6. Kosárba ejtett test
  7. Rugókra merőleges rezgés
  8. Inga kétféle rezgésideje
  9. Rezgés ferde rugóval
  10. Kiskocsik rugóval
  11. Függvényalak átalakítása
  12. Eredő rezgés adatai
  13. Adott eredő rezgés
  14. Azonos kitérés ideje
  15. Lebegés
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (6.7.) Határozzuk meg a nehézségi erőtérben az ábrán látható módon a \setbox0\hbox{$k_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$k_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% direkciós erejű rugókra erősített \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű test rezgési frekvenciáit!
    Kfgy1 6 7.svg

Megoldás

Az állandó nehézségi erőtér csak a rezgés egyensúlyi helyzetét tolja el, a rezgés frekvenciáját nem befolyásolja, ezért ezt a mozgásegyenletekből elhagyhatjuk. A feladat lényege a sorosan vagy párhuzamosan kapcsolt rugók \setbox0\hbox{$k_{\rm{eff}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% eredő rugóállandójának meghatározása. Párhuzamos esetben a mozgásegyenlet
\[m\ddot x=-k_1m-k_2m=-(k_1+k_2)m,\]
ebből az eredő rugóállandó
\[k_{\rm{eff}}=k_1+k_2,\]
azaz több párhuzamosan kapcsolt rugó esetén a rugóállandók összeadódnak. A rezgés körfrekvenciája
\[\omega=\sqrt{\frac{k_{\rm{eff}}}m}\]
Soros esetben a két rugót feszítő \setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% erő azonos, hisz a kettejük érintezésénél lévő erőpárnak azonos nagyságúnak kell lennie (Newton III. axióma!). Ez az \setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% erő hat az \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegre is, így a mozgásegyenlet
\[m\ddot x=F=k_1x_1=k_2x_2=k_{\rm{eff}}x,\]
ahol \setbox0\hbox{$x_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$x_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a két rugó megnyúlása, \setbox0\hbox{$x=x_1+x_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a test elmozdulása, egyben a rugólánc teljes megnyúlása. Az egyenlet utolsó kifejezése maga az eredő rugóállandó definíciója is egyben. Továbbírva az egyenletet
\[F=k_{\rm{eff}}(x_1+x_2)=k_{\rm{eff}}(\frac F{k_1}+\frac F{k_2}),\]
melyet \setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-el egyszerűsítve és rendezve kapjuk
\[\frac1{k_{\rm{eff}}}=\frac1{k_1}+\frac1{k_2},\]
általános esetben pedig reciprok összegzési szabályt kaphatunk a sorba kapcsolt rugókra.