Mechanika - Rugókra merőleges rezgés

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Rezgések I.
Feladatok listája:
  1. Rezgések pályaegyenlete
  2. Rugóra akasztott test
  3. Rezgés kezdeti feltételekkel
  4. Rezgés egyensúlyi helyzetből
  5. Rezgő testre rápottyanó
  6. Kosárba ejtett test
  7. Rugókra merőleges rezgés
  8. Inga kétféle rezgésideje
  9. Rezgés ferde rugóval
  10. Kiskocsik rugóval
  11. Függvényalak átalakítása
  12. Eredő rezgés adatai
  13. Adott eredő rezgés
  14. Azonos kitérés ideje
  15. Lebegés
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*6.9.) Két vízszintes helyzetű \setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% rugóállandójú rugó közé \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű anyagi pontot erősítünk, amely vertikálisan kis amplitúdóval rezgéseket végez. A két rugó összhossza nyugalmi állapotban \setbox0\hbox{$l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, megfeszítve \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Határozzuk meg a rezgési frekvenciát, mint \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényét, ha kis amplitúdójú rezgéseket engedünk csak meg. Vizsgáljuk az \setbox0\hbox{$l\rightarrow l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% határesetet!
    Kfgy1-6-9.svg

Megoldás

A rezgési frekvencia meghatározásához fel kell írni a rugókra merőleges irányú mozgásegyenletet, azaz a visszatérítő erőt az ez irányú kitérés függvényében. Mivel a két rugó azonos hatású, kezelhetjük a feladatot úgy is, hogy csak egy rugót tekintünk, és a testet úgy képzeljük, mintha egy függőleges súrlódásmentes sínen tudna csúszkálni. Az erre az esetre meghatározott effektív rugóállandó kétszerese lesz a valóságos a két rugó esetén.

\setbox0\hbox{$x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egyensúlyi helyzet esetén a rugó megnyúlása \setbox0\hbox{$l-l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Kimozdítva onnan a rugó hossza \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% helyett már \setbox0\hbox{$l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, és
\[x^2+l^2=l_2^2\]
. A rugóerő \setbox0\hbox{$F_r=-D(l_2-l_0)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, de ez rugóirányú, ennek csak az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányú vetülete jelenik meg az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányú mozgásegyenletben. A sín és a rugó által bezárt szöget \setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-val jelölve
\[F_x=F_r\cos{\alpha}=F_r\frac xl_2\]
\setbox0\hbox{$l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a fenti Pitagorasz-tételből kifejezhető, azonban a mozgásegyenlet így még túl általános, nem harmonikus rezgést ír le, ehhez ugyanis alkalmazni kell a kis kitérés közelítését is. Erre számos módszer kínálkozik. Az egyik az \setbox0\hbox{$l_2(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény sorbafejtése, ez
\[l_2(x)=\sqrt{x^2+l^2}=l\sqrt{1+\frac{x^2}{l^2}}\approx l\left(1+\frac{x^2}{2l^2}\right)\]
Ennek második tagja \setbox0\hbox{$F_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kifejezésébe beírva összességében \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ben harmadrendű, tehát elhagyható, ami azt is jelenti, hogy \setbox0\hbox{$l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elsőrendű közelítésben egyenlő \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-el, mivel a sorfejtésben nincs \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-el arányos lineáris tag, csak másodrendű \setbox0\hbox{$x^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-tel arányos. Így a visszatérítő erő végül:
\[F_x\approx -D(l-l_0)\frac xl,\]
vagyis az effektív rugóállandó
\[D_{\rm{eff}}=D\frac{l-l_0}l\]
A másik lehetőség a Pitagorasz-tétel négyzetes alakjának teljes differenciálját képezni, mindkét oldalon a saját \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% változó szerint. (Emlékezzünk, hogy \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% minimális, de előfeszített hossz adott állandó paraméter!) Ebből: \setbox0\hbox{$2x\rm dx=2l_2\rm dl_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kapható, azaz a rugó kis hosszváltozása
\[\rm dl_2=\frac{x}{l_2}\rm dx=\cos{\alpha}\rm dx\]
Ez utóbbi alakot egy megfelelő rajzból is felírhattuk volna, amely a sínen történő kis \setbox0\hbox{$\rm dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elmozdulást a rugó kis \setbox0\hbox{$\rm dl_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% megnyúlásával veti össze, ez lett volna a harmadik, grafikus módszer.
Kfgy1-6-9M.svg
A rugóerő ezt a közelítést felhasználva
\[F_r=-D(l_2-l_0)=-D(l+\rm dl_2-l_0)=-D(l-l_0+\cos{\alpha}\rm dx)\]
önmagában még látszólag lineáris \setbox0\hbox{$dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ben, de \setbox0\hbox{$\cos{\alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szintén kicsi (\setbox0\hbox{$<<1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) és a kis kitéréssel arányos, tehát ez a tag másodrendű, így elhagyható. H azonban ezt ebből még nem látnánk, képezzük \setbox0\hbox{$F_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-et:
\[F_x=-D(l-l_0)\cos{\alpha}-D\cos^2{\alpha}\rm dx\]
Mivel kis kitérésekre \setbox0\hbox{$\alpha\approx 90^{\circ}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, így \setbox0\hbox{$\cos{\alpha}\ll 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\cos^2{\alpha}\ll \cos{\alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, tehát a második tag még akkor is elhagyható, ha \setbox0\hbox{$\rm dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összemérhető \setbox0\hbox{$l-l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% előfeszítéssel.

Összességében tehát azt látjuk, hogy előfeszítés nélkül nem lesz harmonikus rezgés, mivel annak frekvenciájára nulla adódna. (Lásd feszítetlen gitárhúr) Másodsorban a relatív előfeszítés számít, és annak négyzetgyökével arányos a frekvencia. Harmadrészt \setbox0\hbox{$l\gg l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén (azaz \setbox0\hbox{$l\rightarrow\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% határesetben) visszakapjuk a rugó \setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állandóját.