Mechanika - Vízbe merített farúd

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Rugalmasság, folyadékok
Feladatok listája:
  1. Tengerbe lógatott drótkötél
  2. Fémhuzal önsúllyal
  3. Rugalmas energia sűrűsége
  4. Rezgő merev rúd feszültségállapota
  5. Rétegezett folyadékok
  6. Vízbe merített farúd
  7. Medencefal terhelése
  8. Fagolyó vízcsőben
  9. Forgó folyadék felszíne
  10. Folyadékóra
  11. Kifolyás sebessége
  12. Lamináris áramlás
  13. Jegesmedve jégtáblán
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (5.6.) Vékony, egyenletes \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% keresztmetszetű, \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú fa rudat egyik végénél minden irányban elforgatható módon felfüggesztünk, másik végét pedig vízbe merítjük az ábra szerint. Mennyi a rúd vízből kiálló részének \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hossza, ha a rúd sűrűsége \setbox0\hbox{$\rho= 0,75\rho_v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%?
    Kfgy1-5-6.svg

Megoldás

A rúd egyensúlyához szükséges a nulla eredő erő és forgatónyomaték. Az előbbihez a csuklópontnál fel lehet venni egy megfelelő kényszererőt, azonban ezt nem kell meghatározni, ha a nyomatéki egyenletet a csuklópontba írjuk fel, kizárólag a súlyerő és a felhajtóerő nyomatékára lesz szükség. Ha a rúd a függőlegessel \setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szöget zár be, a súlyerő nyomatéka
\[M=mg\frac L2\sin{\alpha}=\frac34\rho_vALg\frac L2\sin{\alpha},\]
a felhajtóerőé pedig
\[M_{fel}=m_vg\left(x+\frac{L-x}2\right)\sin{\alpha}=\rho_vA(L-x)g\frac{L+x}2\sin{\alpha}\]
A kettő egyenlőségéből egyszerűsítések után kapjuk:
\[\frac{3L^2}8=\frac{L^2-x^2}2,\]
melyből
\[x=\frac L2\]
adódik.