„Millikan-kísérlet és szimuláció” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
42. sor: 42. sor:
 
megoldva:
 
megoldva:
  
−
{{eq| e_{n} {{=}} m g \frac{(v_{f}+ v_{r})}{E v_{f}} |eq:3|(3)}}
+
{{eq| e_{n}{{=}}m g \frac{v_f+v_r}{E v_f} |eq:3|(3)}}
  
 
ahol
 
ahol
−
{{eq|m {{=}} \frac{4}{3}\pi r^{3} \sigma |eq:4|(4)}}
+
{{eq| m {{=}} \frac{4}{3}\pi r^{3} \sigma |eq:4|(4)}}
  
 
míg r a csepp sugara, $\sigma$ pedig az olaj sűrűsége. A csepp sugarát az $\eta$ viszkozitású folyadékban eső gömb alakú test sugara és sebessége közötti kapcsolatot megadó Stokes-törvény alapján a
 
míg r a csepp sugara, $\sigma$ pedig az olaj sűrűsége. A csepp sugarát az $\eta$ viszkozitású folyadékban eső gömb alakú test sugara és sebessége közötti kapcsolatot megadó Stokes-törvény alapján a
  
−
{{eq|r {{=}} [\frac{9 \eta v_{f}}{2 g (\sigma-\rho)} |eq:3|(3)}}]^{\frac{1}{2}}|eq:5|(5)}}
+
{{eq|r {{=}} \left[ \frac{9 \eta v_f}{2 g (\sigma - \rho)} \right] ^{1/2}|eq:5|(5)}}
  
 
összefüggés szerint számítjuk, ahol $\sigma$ a közeg sűrűsége. A ([[#eq:4|4]])  és ([[#eq:5|5]])  egyenleteket ([[#eq:3|3]]) -ba helyettesítve és figyelembe véve, hogy az olaj sűrűsége sokkal nagyobb mint a levegőé (<math>\sigma >> \rho</math>):
 
összefüggés szerint számítjuk, ahol $\sigma$ a közeg sűrűsége. A ([[#eq:4|4]])  és ([[#eq:5|5]])  egyenleteket ([[#eq:3|3]]) -ba helyettesítve és figyelembe véve, hogy az olaj sűrűsége sokkal nagyobb mint a levegőé (<math>\sigma >> \rho</math>):
  
−
{{eg| \frac{4 \pi}{3}[\frac{(\frac{9 \eta}{2})^{3}}{g \sigma}]^{\frac{1}{2}}\frac{(v_{f}+v_{r})(v_{f})^{\frac{1}{2}}}{E}|eq:6|(6)}}
+
{{eq|e_n {{=}} \left( \frac{4 \pi}{3}\right) \left[ \frac{\left( \frac{9 \eta}{2}\right)^{3}.}{g \sigma} \right] ^{1/2} \frac{\left(v_f+v_r\right)\left(v_f\right)^{1/2}.}{E}|eq:6|(6)}}
  
−
A Stokes-törvény azonban csak addig érvényes, míg a csepp sebessége nagyobb mint 0,1 <math>\frac{cm}{s}</math>. (Az ilyen és kisebb sebességű cseppek 2 $\mu$m nagyságrendű átmérője összemérhető a levegő molekulák szabad úthosszával, amely esetben a Stokes-törvény érvényességének egyik alapfeltétele nem teljesül.) Mivel a cseppek tipikus sebessége kísérletünkben a 0,01 - 0,001 <math>\frac{cm}{s}</math> tartományba esik,egy
+
A Stokes-törvény azonban csak addig érvényes, míg a csepp sebessége nagyobb mint 0,1 <math>\frac{cm}{s}</math>. (Az ilyen és kisebb sebességű cseppek 2 $\mu m$ nagyságrendű átmérője összemérhető a levegő molekulák szabad úthosszával, amely esetben a Stokes-törvény érvényességének egyik alapfeltétele nem teljesül.) Mivel a cseppek tipikus sebessége kísérletünkben a 0,01 - 0,001 <math>\frac{cm}{s}</math> tartományba esik,egy
  
−
{{eq|[\frac{1}{1+\frac{b}{p r}}]^{\frac{3}{2}}|eq:7|(7)}}
+
{{eq| \left[ \frac{1}{1+\left( \frac{b}{pr}\right)}\right]^{3/2}|eq:7|(7)}}
  
 
alakú korrekciós tényező bevezetése szükséges, ahol $b$ állandó, $p$ a légköri nyomás, $r$ pedig a Stokes-törvényből számolt csepp sugár.  
 
alakú korrekciós tényező bevezetése szükséges, ahol $b$ állandó, $p$ a légköri nyomás, $r$ pedig a Stokes-törvényből számolt csepp sugár.  
 
Az elektromos térerősség <math>E =\frac {V}{d} </math> ahol $V$ a $d$ távolságban lévő párhuzamos lemezek közötti potenciálkülönbség. Ezt és ([[#eq:7|7]])-et a ([[#eq:6|6]]) egyenletbe helyettesítve:
 
Az elektromos térerősség <math>E =\frac {V}{d} </math> ahol $V$ a $d$ távolságban lévő párhuzamos lemezek közötti potenciálkülönbség. Ezt és ([[#eq:7|7]])-et a ([[#eq:6|6]]) egyenletbe helyettesítve:
  
−
{{eq|e_{n}{\frac{4 \pi}{3}[\frac{(\frac{9 \eta}{2})^{3}}{g \sigma}]^{\frac{1}{2}}} \times {|\frac{1}{1+\frac{b}{p r}}]^{\frac{3}{2}}}\times{ \frac{(v_{f}+v_{r})(v_{f})^{\frac{1}{2}}}{E}}|eq:8|(8)}}
+
{{eq|e_n {{=}} \left{ \left( \frac{4 \pi d}{3}\right) \left[ \frac{ \left(\frac{9 \eta}{2}\right)^{3}.}{g \sigma} \right] ^{1/2} \right} \times \left{ \left[ \frac{1}{1+\left( \frac{b}{p r}\right)}\right]^{3/2} \right} \times \left{ \frac{\left(v_f+v_r\right)v_f^{1/2}.}{E}\right}|eq:8|(8)}}
  
 
Az első szorzófaktorban lévő mennyiségek állandók, a másodikban a csepp sugara, míg a harmadikban a mérendő sebességek szerepelnek. A fenti egyenletekben előforduló mennyiségek és mértékegységeik a következők:
 
Az első szorzófaktorban lévő mennyiségek állandók, a másodikban a csepp sugara, míg a harmadikban a mérendő sebességek szerepelnek. A fenti egyenletekben előforduló mennyiségek és mértékegységeik a következők:
  
−
*$e_n$  - a csepp által hordozott töltés Coulomb-ban,
+
*$e_n$  - a csepp által hordozott töltés $Coulomb$-ban,
−
*$d$ - a kondenzátor lemezei közötti távolság m-ben,
+
*$d$ - a kondenzátor lemezei közötti távolság $m$-ben,
 
*$g$ - a nehézségi gyorsulás <math> \frac {m}{s^{2}}</math>-ben,  
 
*$g$ - a nehézségi gyorsulás <math> \frac {m}{s^{2}}</math>-ben,  
−
*$\eta$ - a levegő viszkozitása Pa$\cdot$s-ban,
+
*$\eta$ - a levegő viszkozitása $Pa \cdot s$-ban,
 
*$\rho$- a levegő sűrűsége <math> \frac {kg}{m^{3}}</math>-ben,
 
*$\rho$- a levegő sűrűsége <math> \frac {kg}{m^{3}}</math>-ben,
 
*$\sigma$- az olaj sűrűsége <math> \frac {kg}{m^{3}}</math>-ben,
 
*$\sigma$- az olaj sűrűsége <math> \frac {kg}{m^{3}}</math>-ben,
 
*$b$ - állandó, <math> 8,20 \cdot 10^{-3} Pa \cdot m </math>,
 
*$b$ - állandó, <math> 8,20 \cdot 10^{-3} Pa \cdot m </math>,
−
*$p$ - a légköri nyomás Pa-ban,
+
*$p$ - a légköri nyomás $Pa$-ban,
−
*$r$ - a csepp sugara m-ben,
+
*$r$ - a csepp sugara $m$-ben,
−
*$v_f* - az esési sebesség <math> \frac {m}{s}</math>-ban,
+
*$v_{f}$ - az esési sebesség <math> \frac {m}{s}</math>-ban,
−
*$v_r$  - az emelkedési sebesség <math> \frac {m}{s}</math>-ban,
+
*$v_{r}$  - az emelkedési sebesség <math> \frac {m}{s}</math>-ban,
−
*$V$ - a potenciálkülönbség a lemezek között V-ban.
+
*$V$ - a potenciálkülönbség a lemezek között $V$-ban.
  
  

A lap 2013. január 22., 15:14-kori változata



Szerkesztés alatt!

Tartalomjegyzék


Elméleti összefoglaló

Történeti áttekintés

Elektromos jelenségekről először a görögök számoltak be, amikor feljegyezték, hogy a megdörzsölt borostyán a könnyű tárgyakat magához vonzza. E jelenséget 1747-ben Benjamin Franklin azzal magyarázta, hogy minden anyagban bizonyos mennyiségű elektromos folyadék vagy tűz található, mely folyadék többlete pozitív, hiánya eddig negatív töltést eredményez. Symmer tizenkét évvel későbbi elmélete szerint a semleges állapotban lévő anyag azért nem mutat elektromos tulajdonságokat, mert a pozitív ill. negatív elektromosságért felelős súlytalan folyadékokból azonos mennyiséget foglal magába.

Franklin már olyan elektromos részecske létezését tételezte fel, mely elegendően kicsi ahhoz, hogy könnyen behatoljon az anyagba. Kísérletei, melyek szerint elektrolízis közben az ellentétes elektródokon kiváló vegyületek tömege arányos kémiai egyenérték-súlyukkal, támogatták ezt a hipotézist. A folyadékelmélet és az az elképzelés, mely szerint az elektromosság az anyag mechanikai feszültségi állapota, a XIX. század végéig az elektromos jelenségek kizárólagos magyarázata maradt.

Az elektromosság azon természetes egységének megnevezésére, melynek hatására valamely elektródon egy atomnyi hidrogén vagy más egyértékűanyag szabadul fel, G. J. Stoney az “elektron” kifejezést javasolta 1891-ben.

Az egyszeres iontöltés meghatározását Townsend kísérelte meg először az 1890-es évek végén. Megfigyelte, hogy kénsav elektrolízise során pozitív töltésű hidrogén és oxigén szabadul fel. A felszabaduló ionizált gázt vízen átbuborékoltatva ködöt képzett. Feltételezte, hogy a telített vízgőzben minden ion nedvességet kondenzál maga körül, vagyis az ionok száma megegyezik a cseppekével. Townsend eredményei a 3 \cdot 10^{-10} e.s.u. (e.s.u.:egykori elektrosztatikus egység) nagyságrendbe estek. J.J Thompson 1900-ban egy a Townsendéhez hasonló módszerrel 6 \cdot 10^{-10} e.s.u. értéket kapott. Minthogy a feltevés, hogy cseppek egy iont tartalmaznak, csak közelítőleg bizonyult helyesnek, ezek a módszerek nem voltak alkalmasak az elektrontöltés pontos meghatározására.

H.S. Wilson Townsend és Thompson kísérleteit úgy tökéletesítette, hogy a két lapos rézelektróda között állított elő ködöt. A töltetlen ill. 2000 V feszültségre kapcsolt lemezek között megfigyelve a ködcseppek esési sebességét, és kihasználva, hogy a két sebesség arányos a cseppekre ható erőkkel, Wilson meghatározta az elektron töltését, mely 3 \cdot 10^{-10} e.s.u értékűnek adódott. Mivel Wilson mérései a köd felső részére ill. a legkisebb töltésű cseppekre vonatkoztak (a nagyobb töltésű cseppek az elektromos térben gyorsabban mozogtak lefelé), eredményei összhangban voltak a cseppenkénti egy ion feltevéssel.

Millikan tovább javította Wilson elrendezését azzal, hogy a lemezekre nagyobb feszültséget kapcsolt, aminek következtében a cseppek esési sebessége nemcsak csök-kent, hanem esetenként meg is fordult. Egyes töltött cseppek felfelé mozogtak, mások gyorsan lefelé, míg a töltetlen cseppek változatlan sebességgel haladtak lefelé. Néhány csepp, amely akkora töltést hordozott, hogy a gravitációs erőt a cseppre ható elektromos erő csaknem kiegyenlítette, a látómezőben maradt. A lemezekre kapcsolt feszültség változtatásával Millikan kiegyensúlyozta ezen cseppeket, ami lehetővé tette, hogy egyetlen cseppen végezzen méréseket. Ezzel a módszerrel tanulmányozta az egyes ionok tulajdonságait, és vizsgálta, hogy a különböző ionok azonos a töltést hordoznak-e.

Az elektron töltésének meghatározása

A részecskék által hordozott elektromos töltés meghatározható, ha ismert nagyságú elektromos térben mérjük a részecskére ható erőt. Bár a megfelelő elektromos tér előállítása viszonylag egyszerű, az egy vagy néhány többletelektront hordozó részecskékre ható erő igen kicsi. Például egy 1000 \frac{V}{cm} erősségű tér 1,6 \cdot 10^{-4} N erővel hat az egyetlen többlet elektronnal rendelkező részecskére, ami egy ~ 10^{-12} g tömegű részecskére ható gravitációs erővel mérhető össze. Millikan kísérletének sikere attól függött, hogy tudnak-e ilyen nagyságrendű erőt mérni. 10^{-12} g vagy kisebb tömegű olajcseppek viselkedését vizsgálták gravitációs és elektromos térben. A levegőben eső csepp sebességének mérése a Stokes-törvény alkalmazásával lehetővé teszi a csepp tömegének meghatározását, míg az elektromos térben emelkedő csepp sebességéből a cseppre ható er őre, ill. a hordozott töltésre következtethetünk. Bár ez a módszer lehetővé teszi egyetlen csepp töltésének vizsgálatát, csak a mért adatok elemzésével és némi kísérleti jártassággal lehetünk képesek egyetlen elektron töltésének meghatározására. A lassan eső vagy emelkedő cseppek csak kisszámú többlet elektront hordoznak. Mozgásuk megfigyelése alapján töltésük meghatározható,ami lehetővé teszi annak vizsgálatát, hogy a cseppek töltése egy elemi töltés egészszámú többszöröseként áll-e elő, ahogy azt az elektromos töltés kvantált természete alapján várjuk. Ha minden méréséhez más cseppet használunk, felmerül a kérdés, hogy milyen hatással van a töltésre maga a csepp. Ez a bizonytalanság kiküszöbölhet ő, ha ionizáló forrás alkalmazásával egyazon csepp töltését változtatjuk a megfigyelés során. Ha az eredményül kapott töltések valamely érték egészszámú többszörösei, akkor az elemi elektromos töltés létezését egyértelműen bizonyítottuk. Az elektron töltésének ismeretében lehetőség nyílik az Avogadro-szám meghatározására is. Elektrolízis során az egy mólnyi mennyiség leválasztásához szükséges töltés (Faraday) egyenlő az elektron töltés és az Avogadro-szám szorzatával. Az elektrolízis kísérletekből adódóan 1 Faraday = 2,895 \cdot 10^{14} e.s.u., mely értéket az elektron töltésével ( 4,803 \cdot 10^{-10} e.s.u.) osztva megkapjuk az Avogadro-számot.

Egy csepp töltésének számítása

A csepp által hordozott töltés számításához vizsgáljuk meg, milyen erők hatnak egy olajcseppre. Az (1.ábra) az állandósult sebességgel eső cseppre ható erők láthatóak. (A kísérletben használt cseppek néhány \setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%s alatt elérik végsebességüket.) Az (1.ábra) \setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az esési sebesség,\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a súrlódási együttható a levegő és a csepp között, \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a csepp tömege és g a nehézségi gyorsulás. Mivel az erők egyenlők és ellentétes irányúak:

 
\[ m g =k v_{f} \]
(1)

A (2.ábra) az elektromos tér hatására emelkedő cseppre ható erőket mutatja.\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az elektromos térerősség, \setbox0\hbox{$e_{n}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a csepp által hordozott töltés és \setbox0\hbox{$v_{r}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az emelkedés sebessége. Az erőket vektoriálisan összegezve:

 
\[E e_{n} = m g + k v_{f} \]
(2)

Mivel a levegő sűrűsége csak mintegy ezredrésze az olajénak, a levegő felhajtóerejét elhanyagoltuk. Az (1) és (2) egyenletekből \setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t kiküszöbölve és \setbox0\hbox{$e_{n}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re megoldva:

 
\[ e_{n}=m g \frac{v_f+v_r}{E v_f} \]
(3)

ahol

 
\[ m = \frac{4}{3}\pi r^{3} \sigma \]
(4)

míg r a csepp sugara, \setbox0\hbox{$\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig az olaj sűrűsége. A csepp sugarát az \setbox0\hbox{$\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% viszkozitású folyadékban eső gömb alakú test sugara és sebessége közötti kapcsolatot megadó Stokes-törvény alapján a

 
\[r = \left[ \frac{9 \eta v_f}{2 g (\sigma - \rho)} \right] ^{1/2}\]
(5)

összefüggés szerint számítjuk, ahol \setbox0\hbox{$\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a közeg sűrűsége. A (4) és (5) egyenleteket (3) -ba helyettesítve és figyelembe véve, hogy az olaj sűrűsége sokkal nagyobb mint a levegőé (\sigma >> \rho):

 
\[e_n = \left( \frac{4 \pi}{3}\right) \left[ \frac{\left( \frac{9 \eta}{2}\right)^{3}.}{g \sigma} \right] ^{1/2} \frac{\left(v_f+v_r\right)\left(v_f\right)^{1/2}.}{E}\]
(6)

A Stokes-törvény azonban csak addig érvényes, míg a csepp sebessége nagyobb mint 0,1 \frac{cm}{s}. (Az ilyen és kisebb sebességű cseppek 2 \setbox0\hbox{$\mu m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nagyságrendű átmérője összemérhető a levegő molekulák szabad úthosszával, amely esetben a Stokes-törvény érvényességének egyik alapfeltétele nem teljesül.) Mivel a cseppek tipikus sebessége kísérletünkben a 0,01 - 0,001 \frac{cm}{s} tartományba esik,egy

 
\[ \left[ \frac{1}{1+\left( \frac{b}{pr}\right)}\right]^{3/2}\]
(7)

alakú korrekciós tényező bevezetése szükséges, ahol \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állandó, \setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a légköri nyomás, \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a Stokes-törvényből számolt csepp sugár. Az elektromos térerősség E =\frac {V}{d} ahol \setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a \setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságban lévő párhuzamos lemezek közötti potenciálkülönbség. Ezt és (7)-et a (6) egyenletbe helyettesítve:

 
LaTex syntax error
\[e_n = \left{ \left( \frac{4 \pi d}{3}\right) \left[ \frac{ \left(\frac{9 \eta}{2}\right)^{3}.}{g \sigma} \right] ^{1/2} \right} \times \left{ \left[ \frac{1}{1+\left( \frac{b}{p r}\right)}\right]^{3/2} \right} \times \left{ \frac{\left(v_f+v_r\right)v_f^{1/2}.}{E}\right}\]
(8)

Az első szorzófaktorban lévő mennyiségek állandók, a másodikban a csepp sugara, míg a harmadikban a mérendő sebességek szerepelnek. A fenti egyenletekben előforduló mennyiségek és mértékegységeik a következők:

  • \setbox0\hbox{$e_n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% - a csepp által hordozott töltés \setbox0\hbox{$Coulomb$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ban,
  • \setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% - a kondenzátor lemezei közötti távolság \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ben,
  • \setbox0\hbox{$g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% - a nehézségi gyorsulás \frac {m}{s^{2}}-ben,
  • \setbox0\hbox{$\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% - a levegő viszkozitása \setbox0\hbox{$Pa \cdot s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ban,
  • \setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%- a levegő sűrűsége \frac {kg}{m^{3}}-ben,
  • \setbox0\hbox{$\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%- az olaj sűrűsége \frac {kg}{m^{3}}-ben,
  • \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% - állandó, 8,20 \cdot 10^{-3} Pa \cdot m ,
  • \setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% - a légköri nyomás \setbox0\hbox{$Pa$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ban,
  • \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% - a csepp sugara \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ben,
  • \setbox0\hbox{$v_{f}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% - az esési sebesség \frac {m}{s}-ban,
  • \setbox0\hbox{$v_{r}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% - az emelkedési sebesség \frac {m}{s}-ban,
  • \setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% - a potenciálkülönbség a lemezek között \setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ban.




PDF formátum

Millikan-kísérlet és szimuláció(pdf)


A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Millikan-kísérlet_és_szimuláció&oldid=7140”