Poisson zaj szerkesztőlap

A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Measure (vitalap | szerkesztései) 2018. május 16., 20:18-kor történt szerkesztése után volt.

(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)

Poisson zaj


A Poisson-zaj az elektronok diszkrét töltéséből fakadó áramzajnak, azaz a sörétzaj egy speciális fajtája. A Poisson-zaj specialitását az egymástól független elektronok detektálása jelenti. Az elnevezése is innen származik, hiszen ahogyan a klasszikus példában a véletlen időközönként elsütött puskagolyók, úgy az egymástól függetlenül kilépő elektronok száma is Poisson-eloszlást mutat. A Poisson-eloszlás sörétzaj szempontjából fontos tulajdonsága, hogy a várható értéke megegyezik a szórásnégyzetével:

\[\langle N\rangle=\langle (\Delta N)^2\rangle.\]

Tegyük fel, hogy \setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% idő alatt átlagosan N elektron lép ki az egyik elektródából. Ekkor az áram várható értéke a következőképpen definiálható:

\[\langle I\rangle=\langle N\rangle\frac{e}{\Delta t}.\]

Az áram szórásnégyzete pedig felhasználva a várható érték és szórásnégyzet közötti egyenlőséget:

\[\langle (\Delta I)^2\rangle=\langle (\Delta N)^2\rangle\left(\dfrac{e}{\Delta t}\right)^2=\langle I\rangle\frac{e}{\Delta t}.\]

Ebben az esetben azonban a \setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nem a fentebb definiált két diszkrét mintavételezés között eltelt időt jelenti, hanem azt az időintervallumot, amelyen belül az áram várható értéke \setbox0\hbox{$\langle I\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, illetve szórásnégyzete \setbox0\hbox{$\langle (\Delta I)^2\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Határozzuk meg ebben az időintervallumban az átlagos áramot. Ehhez a jelünket konvolváljuk össze egy \setbox0\hbox{$G(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvénnyel, amely egyenlő \setbox0\hbox{$\dfrac{1}{\Delta t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel, ha \setbox0\hbox{$|t|<\dfrac{\Delta t}{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, egyébként nulla.

\[I_{out}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}dt'I_{in}(t')G(t-t')=\frac{1}{\Delta t}\int_{t-\frac{\Delta t}{2}}^{t+\frac{\Delta t}{2}}dt'I_{in}(t').\]

A konvolúció Fourier-transzformáltja a Fourier-transzformáltak szorzatával egyenlő:

\[i_{out}(\omega)=i_{in}(\omega)g(\omega).\]

Ez az összefüggés azt sejteti, hogy a konvolváló függvény szűrőként viselkedik. Mivel a zaj az áram Fourier-transzformáltjának négyzetével arányos az áramzajok aránya a szűrő karakterisztika Fourier-transzformáltjának négyzete lesz:

\[s_{out}(\omega)=s_{in}(\omega)g^2(\omega).\]

Vizsgáljuk meg a szűrő karakterisztikáját:

\[g(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}dtg(t)e^{-i\omega t}=\frac{1}{\Delta t}\int_{-\frac{\Delta t}{2}}^{+\frac{\Delta t}{2}}dte^{-i\omega t}=\frac{2}{\omega \Delta t}sin\left(\frac{\omega \Delta t}{2}\right).\]

A továbbiakhoz bevezetjük az ekvivalens zaj sávszélesség (Equivalent Noise Bandwidth, ENBW) fogalmát. Az ENBW az a sávszélesség, amelyen fehér zajt feltételezve ugyanakkorának adódik az áram szórásnégyzete, mint a szűrőnkön mérve.

\[\langle (\Delta I)^2\rangle=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}d\omega s_{out}(\omega)=\frac{s_0}{\pi \Delta t}\int_{0}^{\infty}\frac{sin^2(x)}{x^2}=\frac{s_0}{2\Delta t}=s_0f_{max}.\]

Azaz az ekvivalens zaj sávszélesség:

\[ENBW=\frac{1}{2\Delta t}.\]

Ez az összefüggés érezhetően összecseng a Nquist-Shannon mintavételezési törvénnyel. Ha egy \setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időablakra átlagolunk egy jelet, az a konvolúció egy olyan szűrőként viselkedik a frekvenciatérben, melyen keresztül fehér zajt mérve az áram szórásnégyzet egyenlő lesz egy \setbox0\hbox{$\dfrac{1}{2\Delta t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tökéletes sávszűrőn mért szórásnégyzettel.

Most vizsgáljuk az áram szórásnégyzetét:

\[\langle (\Delta I)^2\rangle=\langle I\rangle\dfrac{e}{\Delta t}=\int_{0}^{\infty}s_I(f)g(f)df=\int_{0}^{\frac{1}{2\Delta t}}s_I(f)df.\]

Ez bármely \setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szélességű átlagolási időre csak akkor teljesülhet, ha a zajsűrűség független a frekvenciától, értéke pedig:

\[s_I(f)=2e\langle I\rangle.\]