Pontrendszerek - 3.1.26

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Pontrendszerek
Feladatok listája:
  1. Pontrendszerek - 3.1.2
  2. Pontrendszerek - 3.1.3
  3. Pontrendszerek - 3.1.6
  4. Pontrendszerek - 3.1.7
  5. Pontrendszerek - 3.1.9
  6. Pontrendszerek - 3.1.11
  7. Pontrendszerek - 3.1.12
  8. Pontrendszerek - 3.1.13
  9. Pontrendszerek - 3.1.14
  10. Pontrendszerek - 3.1.16
  11. Pontrendszerek - 3.1.18
  12. Pontrendszerek - Rugalmas ütközés térben
  13. Pontrendszerek - 3.1.21
  14. Pontrendszerek - 3.1.23
  15. Pontrendszerek - 3.1.26
  16. Pontrendszerek - 3.3.1
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*3.1.26) A rakétát a hajtóműből folytonosan kiáramló gáz gyorsítja. Mennyivel változik az eredetileg \setbox0\hbox{$m_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű rakéta sebessége, ha a rakétából a rakétához viszonyítva állandó \setbox0\hbox{$u$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességgel \setbox0\hbox{$\alpha m_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű gáz áramlott ki, ahol \setbox0\hbox{$0<\alpha<1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%? (A rakétára külső erő nem hat és az \setbox0\hbox{$u$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebesség a rakéta sebességével ellentétes irányú, de azzal egy egyenesbe esik.)

Megoldás

  1. A gáz kiáramlását jellemezze a konstans \setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kiáramlási sebesség. Egy nagyon rövid \setbox0\hbox{$dt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időtartam alatt így \setbox0\hbox{$dm=\lambda dt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű gáz áramlik ki. Ezen idő alatt tekinthetünk úgy a problémára, mintha a rakéta két részre szakadna. A szétszakadás előtt a teljes tömeg \setbox0\hbox{$m(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, utána a kilökött gázé \setbox0\hbox{$dm=\lambda dt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a rakétáé pedig \setbox0\hbox{$m(t+dt)=m(t)-\lambda dt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A rakéta sebessége a szétszakadás előtt \setbox0\hbox{$v(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, utána a kilökött gázé \setbox0\hbox{$v(t)-u$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a rakétáé \setbox0\hbox{$v(t+dt)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Az impulzus megmaradás az alábbiak szerint írható fel.
    \[m(t)v(t)=(m(t)-\lambda dt)v(t+dt)+\lambda dt(v(t)-u)\]
    Infinitezimális folyamatokat írunk le, ezért \setbox0\hbox{$dt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nagyon kicsi. Így mindkét oldalon csak \setbox0\hbox{$dt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ben elsőrendű tagokat tartjuk meg.
    \[m(t)v(t)=m(t)v(t+dt)-\lambda dt u\]
    Az elhanyagolt tag \setbox0\hbox{$\sim (v(t+dt)-v(t))dt=a(t) dt^{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nagyságrendű. Az így kapott egyenletet leosztva \setbox0\hbox{$dt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel megjelenik a sebesség idő szerinti deriváltja.
    \[m(t)\frac{dv}{dt}=\lambda u\,,\]
    ahol \setbox0\hbox{$m(t)=m_{0}-\lambda t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    \[\frac{dv}{dt}=\frac{\lambda u}{m_{0}-\lambda t}\qquad\Rightarrow\qquad v(t)=v(0)+\int_{0}^{t}\frac{\lambda u}{m_{0}-\lambda t'}dt'=v(0)+u\ln\frac{m_{0}}{m_{0}-\lambda t}\]
    A \setbox0\hbox{$t_{\alpha}=\alpha m_{0}/\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az az idő, amennyi alatt az \setbox0\hbox{$\alpha m_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% mennyiségű gáz kiáramlik. Ennyi idő alatt a sebesség változás
    \[\Delta v_{\alpha}=v(t_{\alpha})-v(0)=-u\ln(1-\alpha)>0\,.\]