Pontrendszerek - 3.1.9

A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Bacsi (vitalap | szerkesztései) 2013. október 30., 10:51-kor történt szerkesztése után volt.

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Pontrendszerek
Feladatok listája:
  1. Pontrendszerek - 3.1.2
  2. Pontrendszerek - 3.1.3
  3. Pontrendszerek - 3.1.6
  4. Pontrendszerek - 3.1.7
  5. Pontrendszerek - 3.1.9
  6. Pontrendszerek - 3.1.11
  7. Pontrendszerek - 3.1.12
  8. Pontrendszerek - 3.1.13
  9. Pontrendszerek - 3.1.14
  10. Pontrendszerek - 3.1.16
  11. Pontrendszerek - 3.1.18
  12. Pontrendszerek - Rugalmas ütközés térben
  13. Pontrendszerek - 3.1.21
  14. Pontrendszerek - 3.1.23
  15. Pontrendszerek - 3.1.26
  16. Pontrendszerek - 3.3.1
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (3.1.9) Vízszintes talajon \setbox0\hbox{$m_{1}=40\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű láda fekszik, a súrlódási együttható \setbox0\hbox{$\mu=0,2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Mekkora \setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű test képes a ládát megmozdítani az ábrán látható elrendezésben? Mekkora pillanatnyi gyorsulással indulna el ilyen \setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömeg hatására a láda egy súrlódásmentes vízszintes síkon? A csiga tömegét és súrlódását a számításokban elhanyagolhatjuk. (\setbox0\hbox{$\alpha=30^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%)
    Kfgy1 3 1 9.svg

Megoldás

  1. Vizsgáljuk meg, hogy mi a feltétele annak, hogy az \setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű test ne mozduljon el. A rá ható erők az \setbox0\hbox{$F_{g}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% gravitációs erő, \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nyomóerő, \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tapadási súrlódási erő és a kötél által kifejtett \setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kötélerő, melynek iránya a vízszintessel \setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szöget zár be. A kötélerőt felbontjuk vízszintes (\setbox0\hbox{$K\cos\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) és függőleges (\setbox0\hbox{$K\sin\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) komponensekre. Az \setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű testre vonatkozó függőleges és vízszintes irányú mozgásegyenletek
    \[K\sin\alpha+N=m_{1}g\qquad\qquad K\cos\alpha=T\,.\]
    Az \setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű test sem mozdul ebben az esetben, így \setbox0\hbox{$K=m_{2}g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A tapadási súrlódási erő és a nyomóerő között teljesülnie kell az alábbi összefüggésnek.
    \[T\leq \mu N\]
    \[m_{2}\leq \frac{\mu}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}m_{1}\]
    Ez a feltétel azt adja meg, hogy mekkorának kell lennie az \setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű testnek ahhoz, hogy az \setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű ne mozduljon el. Ha ennek ellenkezőjére vagyunk kíváncsiak, vagyis arra, hogy mekkora \setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kell ahhoz, hogy \setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elmozduljon, akkor nyilvánvalóan
    \[m_{2}> \frac{\mu}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}m_{1}=8,28\,\mathrm{kg}\]
    kell, hogy teljesüljön.
    Ha nem lenne súrlódás és \setbox0\hbox{$m_{2}=8,28\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% lenne, akkor az \setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű test vízszintes irányú, \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nagyságú, míg az \setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű test pedig \setbox0\hbox{$a\cos\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% gyorsulással indul el. Az \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% gyorsulás meghatározásához írjuk fel a mozgás egyenleteket.
    \[m_{1}a=K\cos\alpha\]
    \[m_{2}a\cos\alpha=m_{2}g-K\]
    A két egyenlet alapján
    \[a=\frac{m_{2}}{m_{2}\cos\alpha+\frac{m_{1}}{\cos\alpha}}g=1,52\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\]
    gyorsulással indulna el.