„Speciális relativitáselmélet” változatai közötti eltérés

Mint azt a [http://en.wikipedia.org/wiki/Classical_mechanics klasszikus mechanikában] már megtanultuk, a Newton-féle tér- és időszemlélet tükrözi a hétköznapi, egyszerű elképzelésünket. Azt gondoljuk, hogy létezik egy végtelen nagy (az egész Univerzumra kiterjedő) „álló” [http://en.wikipedia.org/wiki/Inertial_frame_of_reference inerciarendszer], azaz van egy univerzális „Színpad” ([http://en.wikipedia.org/wiki/Space ''tér'']) amelyen a Világ eseményei megtörténnek. Ebben mozognak a [http://en.wikipedia.org/wiki/Galaxy galaxisok], ebben mozog a Földünk is és a Föld felszínén lévő testek mozgását is ehhez az abszolút rendszerhez kellene viszonyítanunk. Valamint létezik (egy nagyon absztrakt) „valami”, amit [http://en.wikipedia.org/wiki/Time ''időnek''] nevezünk. Ez „egyenletesen telik” a végtelen távoli múlttól a „jelen pillanatig” és tudjuk, hogy ezt teszi a jövőben is „az idők végezetéig”. Az abszolút inerciarendszerben a távolságokat (azaz a „Teret”) méterrúddal mérjük, az „Időt” pedig [http://en.wikipedia.org/wiki/Clock órával]. Mindezt eleve ([http://en.wikipedia.org/wiki/A_priori_and_a_posteriori a priori]) adottnak, mintegy természetesnek vesszük.  

:<small>Nem vitatjuk e szemlélet jogosságát. Pedig megtehetnénk, ugyanis mindez csupán egy ''kulturális örökség'' és így meglehetősen ''speciális''. A görögöktől kapott Euklideszi geometria a végtelen (homogén) tér szemléletét hagyta ránk. A geometriai törvények szigorú (logikai) rendje szinte evidensé teszi a térszemléletünk helyességét. A kereszténység (teremtéselméletén alapuló) ''lineáris'' időszemlélete hosszú generációkon keresztül ivódott belénk. Tudjuk, hogy más kultúrákban az ''időt'' más tulajdonságúnak képzelik az emberek. Például a hinduk időszemléletét a  linearitás helyett a ''periodikusság'' jellemzi. Ennek vallási vetülete pl. a ''reinkarnációban'' való hit is.</small>

Az álló, univerzális (abszolút) inerciarendszerhez képest minden egyenletes sebességgel mozgó [http://en.wikipedia.org/wiki/Frame_of_reference vonatkoztatási rendszer] szintén inerciarendszer. Azaz, ha létezik egy inerciarendszer, akkor végtelen sok is létezik! A Newton-axiómák (ld. [[Mozgás_és_megjelenítése|Mozgás és megjelenítése rész]] ) inerciarendszerekben érvényesek. Ez fordítva is igaz: (definíciószerűen) inerciarendszerek azok, amelyekben a Newton-axiómák teljesülnek. Ez azt jelenti, hogy ha bezárkózunk egy inerciarendszerbe, akkor semmiféle <u>mechanikai</u> kísérlettel nem tudjuk eldönteni, hogy az abszolút rendszerben vagyunk-e vagy pedig nem. De ez azt is jelenti, hogy bármelyik inerciarendszert tekinthetjük állónak. Ezt egyszerűsített formában úgy mondjuk, hogy ''<u>mechanikai</u> kísérlettel nem tudjuk eldönteni, hogy állunk-e vagy mozgunk''. Természetesen „mozgó” rendszeren mindig egyenletesen mozgót kell érteni.

Ezen az egyáltalán nem triviális problémán már [http://en.wikipedia.org/wiki/Galileo_galilei Galileo Galilei] is gondolkodott, és tökéletesen megfogalmazta az inerciarendszerek ekvivalenciáját. Gondolatait a [http://en.wikipedia.org/wiki/Two_New_Sciences „''Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno due nuove scienze attenenti alla mecanica & i movimenti locali''”] (Matematikai érvelések és bizonyítások) című 1638-ban kiadott művében igen részletesen és precízen fejtette ki. Ez még [http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Isaac Newton] előtt volt, így itt „csak” (!) a mozgások matematikai leírását adja meg (pl. a jól ismert $s=a t^2 /2$ itt szerepel először a fizika történetében). A ''tehetetlenség törvényének'' az első megfogalmazását is itt találhatjuk meg. Newton ezeket már „készen kapta”. Az ő érdeme ezen gondolatok matematizálása és egységbe foglalása volt ([http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_laws_of_motion Newton-axiómák], külső hivatkozás).

Az elmondottakból következik, hogy elegendő csak két (tetszőleges) inerciarendszert vizsgálni. A kettő közül az egyiket (bármelyiket) tekinthetjük állónak és a másikat (ehhez épest) mozgónak. Az, hogy melyik melyik, pusztán megállapodás kérdése. Az állónak tekintett rendszert $K$-val, mozgónak tekintett rendszert $K'$-vel szoktuk jelölni. Az élő beszédben pedig „vesszős” és „vesszőtlen” rendszert mondunk. Ezek után azt vizsgáljuk, hogy ugyanazt a mechanikai jelenséget milyennek észleli a $K$-ban illetve a $K'$-ben lévő [http://en.wikipedia.org/wiki/Observer_(special_relativity) megfigyelő]. Ezeket gyakran „álló megfigyelőnek” illetve „mozgó megfigyelőnek” hívjuk. Mármost azt várjuk, hogy bizonyos mért adatok (pl. a hely, a sebesség) a két inerciarendszerben ugyan mások lesznek, de ezek egymásba átszámolhatók. Ezt az átszámolási technikát nevezzük [http://en.wikipedia.org/wiki/Galilean_transformation Galilei-féle transzformációnak].

A konkrét matematikai tárgyalás érdekében (a szokásos módszert követve) definiálnunk kell mind az álló, mind pedig a mozgó inerciarendszerben egy-egy koordinátarendszert. Célszerű lesz a „legegyszerűbb”, Descartes koordináták választása. $K$-ban a koordinátákat és az időt $(x,y,z)$-vel és $t$-vel, $K'$-ben $(x',y',z')$-vel és $t'$-vel jelöljük. Mivel a fizikai eredmény nem függ sem a koordinátarendszer konkrét helyzetétől, sem az időszámítás kezdetétől, ezeket úgy válaszjuk meg, hogy:

# a megfelelő koordinátatengelyek egymással párhuzamosak,

# az $x$ és $x'$ tengelyek abba az irányba mutatnak, amit a két rendszer egymáshoz képesti (egyenletes, $u$ nagyságú) sebessége kitüntet,

# a $t=t'=0$ időpillanatban a koordinátarendszerek origója ($O$ és $O'$) egybeesik (következésképpen az $x$ és $x'$ tengelyek minden időpillanatban egybeesnek).

[[Fájl:Fiz2_Rel_01.jpg|közép|350px]]

Az elkövetkezőkben mindig ezt a konvenciót fogjuk követni. Modern szóval élve ez lesz a [http://en.wikipedia.org/wiki/Default_(computer_science) default] vagy az „alapértelmezés”. A relativitáselmélet szakirodalmában ezt ''standard boost''-nak hívják.

$$\begin{aligned}

x' = x - u t, \\

y' = y, \\

z' = z, \\

t' = t.

\end{aligned}$$

Az utolsó egyenlet azt a természetes tényt rögzíti, hogy az időt mindkét inerciarendszerben ugyanolyan módon mérjük (ugyanazt a naptárt és órát használjuk). A sebességek és a gyorsulások egyszerű $t=t'$ szerinti deriválással kaphatók:

<td>$$ \dot{x}' = \dot{x} - u$$ $$\dot{y}' = \dot{y}$$ $$\dot{z}' = \dot{z}$$</td>

<td>$$ \text{ahol} \quad \dot{x}' = \frac{{\rm d} x'}{{\rm d} t'} = \frac{{\rm d} x'}{{\rm d} t}, \quad\cdots $$</td>

Tehát a sebesség nem, de a gyorsulás mindkét rendszerben ugyannak adódik. Tegyük fel (mert igazából semmi nem indokolná az ellenkezőjét), hogy a pont $m$ tömege és a rá ható $\bf{F}$ erő mindkét rendszerből mérve ugyanaz. Így valóban a Newton-féle mozgásegyenlet (mind a vesszős, mind pedig a vesszőtlen rendszerben) ugyanolyan alakú lesz:

$$ m \ddot{\bf r}' = {\bf F} \quad\leftrightarrow\quad m \ddot{\bf r} = {\bf F}. $$

Ezt nevezzük [http://en.wikipedia.org/wiki/Galilean_invariance <b>Galilei-féle relativitás elvnek</b>]. Nyilvánvaló, hogy ha egyetlen tömegpont mozgástörvényét ismerjük, akkor nagyon sok, egymással kölcsönható tömegpontokból álló rendszer mozgását is meg tudjuk határozni (lásd: merev testek, folyadékok, gázok mechanikája). Ezek után megállapíthatjuk, hogy a Galilei-féle relativitási elv szerint:

A mechanika törvényei minden inerciarendszerben ugyanazok (azaz egyforma matematikai alakban fogalmazhatók meg).

A leggyorsabb haladás érdekében az „axiomatikus utat” fogjuk követni: egy egyszerűsített „felvezetés” után kimondjuk a speciális relativitáselmélet alaptörvényeit (ezek neve ''Einstein-posztulátumok''), majd ezek következményeit részletesen megtárgyaljuk. A kapott „relativisztikus” effektusok  mindegyikét (közvetlen vagy közvetett) kísérletek sokasága igazolja illetve (és ez a fontosabb) az elmúlt 100 évben még nem találkoztunk olyan természeti jelenséggel, amely cáfolta volna ezen törvények valamelyikét.

!!! Hiba! Nincs fentebb említve semmi!

:<small>A fentebb említett „áltudományos” művekkel kapcsolatban célszerű egy igen egyszerű „prakticista” álláspontra helyezkedni. A Természetet semmiféle filozófiai okoskodással nem lehet kitalálni. Ezért ne filozofálgassunk a relativitáselméletről! Elegendő csupán az, ha valaki elvégez egyetlen egy olyan kísérletet, amely az einsteni posztulátumok bármelyikét egyértelműen és reprodukálható módon megcáfolja. Azaz mér egy $c$-nél nagyobb hatásterjedési sebességet vagy egy fizikai méréssel megállapítja, hogy mozog-e vagy nyugalomban van! Ennél több nem is kell! Minden egyéb csak szócséplés és üres „filozofálgatás”!</small>

Galilei (1564-1642) és Newton (1642-1727) után mintegy 200 évvel [http://en.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell James Clerk Maxwell] (1831-1879) megalkotta az elektrodinamika alaptörvényeit, az ún. [http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell's_equations Maxwell egyenleteket]. Az 1864-ben megjelent művének a címe: [http://en.wikipedia.org/wiki/A_Dynamical_Theory_of_the_Electromagnetic_Field „''Az elektromágneses mező dinamikájának elmélete”'']. Joggal merülhet fel a kérdés, hogy vajon ezek az egyenletek melyik vonatkoztatási rendszerben érvényesek. Ha következetesek akarunk lenni, akkor azt kell mondanunk, hogy természetesen a Newton-féle Univerzális (abszolút) Rendszerben (a Világszínpadon) biztosan jónak kell lennie. Hiszen ezért fogadjuk el alaptörvénynek. De mi a helyzet a többi (mozgó) inerciarendszerrel? Vajon ezek az „új” törvények ugyanúgy viselkednek, mint a Newton-féle mechanika, vagy esetleg másképpen? Azaz változatlanok maradnak-e, ha az abszolút rendszerből áttérünk egy mozgó rendszerre. Erre csak a tapasztalat adhatja meg a választ!

Mint azt már láttuk, a Maxwell-egyenletek szerint léteznie kell [http://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_radiation elektromágneses hullámoknak] (EMH). Mivel a vákuum homogén és izotróp, így az EMH-k terjedése is ilyen kell hogy legyen. Valóban,  [http://en.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Hertz Heinrich Hertz] (1857-1894) kísérletileg kimutatta ezek létezését (1885-1889), ami még érdekesebbé tette a fenti kérdést, ugyanis a klasszikus tapasztalatok szerint egy hullámjelenség mindig valamilyen anyagi közegben lép fel. Jól ismert példaként a hanghullámokat (levegőben), a rugalmas hullámokat (szilárd anyagban) vagy a felületi vízhullámokat említhetnénk. Így aztán nyilvánvaló volt, hogy az elektromágneses hullámnak is valamilyen anyagi közegre van szüksége. Ez a közeg azonban (a mechanikai szemlélet szerint) igen szokatlan tulajdonságú. Láttuk, hogy a (sík) EMH szerkezete olyan, hogy a térben és időben változó („hullámzó”) elektromos és mágneses térerősség merőleges a terjedési irányra, azaz ún. [http://en.wikipedia.org/wiki/Transverse_wave ''tranzverzális hullámról''] van szó.

[[Fájl:Fiz2_Rel_03.jpg|közép|150px]]

A mechanikában tranzverzális hullámok csak szilárd anyagokban (ahol nyírási erőhatások ébredhetnek) lépnek fel. Az EMH-t hordozó közeg tehát a szilárd anyagokra emlékeztet. Ugyanakkor ebben a közegben a testek akadálytalanul mozoghatnak (pl. az égitestek), így ez a közeg a tömeggel bíró testek számára érzékelhetetlen. Ezért elnevezték [http://en.wikipedia.org/wiki/Aether_(classical_element) „éternek”]. Az ''éter'' görög szó (aithér). A mitológia szerint földi levegő felett lévő (könnyű, fénylő és tiszta) égi levegő, amelyben az istenek laknak.

Tehát – gondolták a régiek – az abszolút, álló Univerzális Rendszert kitölti az éter és az EMH (pl. a fény) ebben terjed éppen $c$ sebességgel. Az EMH pedig a töltések között fellépő elektromágneses kölcsönhatások hordozója, közvetítője. Mint azt láttuk, a Maxwell-egyenletekben egyetlen sebességadat szerepel, ezt jelöltük $c$-vel. Az egyenletekből levezethető [http://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation hullámegyenletben] éppen ez a $c$ jelenik meg. Ennek megoldásaként adódó EMH sebességére is ugyanez a $c$ adódik. Mindezt már részletesen tárgyaltuk az [[Elektrodinamika|elektrodinamikában]]. A kérdés mármost az, hogy mekkora lesz az $x$ tengely mentén pozitív irányban haladó EMH sebessége, ha az éterhez képest mozgó inerciarendszerben mérjük azt meg (alapértelmezés!). A hullámoknál tapasztaltak szerint ennek különböznie kell a $c$-től. Valóban, ha a Maxwell egyenletekből levezethető hullámegyenletet a fenti módon áttranszformáljuk a mozgó rendszerbe, akkor az új hullámegyenlet megoldására egy $c'=c+u$, illetve $c'=c-u$ sebességű fényhullámot kapunk, attól függően, hogy szembe mozgunk-e a fénnyel ($-x$) vagy vele egyező irányban ($+x$). De ez azt is jelentené, hogy ami a mechanikában lehetetlen volt, az most lehetővé válik: egy egyszerű fénysebesség méréssel meg tudnánk mondani, hogy „állunk-e vagy mozgunk”.

Van azonban egy érdekes tény! Ugyanis, ha a Maxwell-egyenleteken (külön-külön mind a négyen) végrehajtjuk az $(x,y,z,t)$-re vonatkozó Galilei-transzformációt, akkor olyan „új” tagok jelennek meg az egyenletekben, amelyet semmiféle kísérlet nem igazol. Az érdekesség az, hogy ezek a „felesleges tagok” a hullámegyenlet képzésekor éppen kiesnek! Ezért ez ott nem okozott gondot. Kimondhatjuk tehát, hogy a Galilei-transzformáció alkalmazása az elektrodinamikában rossz eredményt ad. De ez egyben azt is jelenti, hogy a mozgó rendszerben kapott $c'$ sebességérték sem helyes. Erre a problémára a legegyszerűbb választ [http://en.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein Albert Einstein] adta meg.

Tételezzük fel – mondta –, hogy a Maxwell-egyenletek minden inerciarendszerben ugyanolyan alakúak. Tehát minden inerciarendszerben az EMH (fény) sebessége ugyanaz a $c$ érték. Ekkor viszont az abszolút nyugvó éter fogalma tarthatatlanná válik. Mondjuk tehát ki, hogy ''az éter nem létezik''! Mindezekből következik, hogy nem csak mechanikai, hanem elektrodinamikai kísérlettel sem lehet eldönteni, hogy „nyugvó, vagy pedig mozgó” rendszerben vagyunk. Az inerciarendszerek ezen egyenértékűsége és a $c$, mint az elektromágneses kölcsönhatások terjedési sebességének állandósága (invarianciája) nem lehet véletlen. Einstein azt javasolta, hogy legyenek ezek alapvető természeti törvények. Az elmondottak lehető legszélesebb körű általánosítása vezet az [http://en.wikipedia.org/wiki/Postulates_of_special_relativity Einstein-féle posztulátumokhoz]. Ezek szerint

# <b>a Természettörvények minden inerciarendszerben ugyanolyan alakúak,</b>

# <b>bármilyen fizikai hatás maximum $c$ sebességgel terjedhet.</b>

A $c$ (homogén, izotrop) sebesség invarianciáját nem kell külön kimondani, mert ez az első posztulátumnak a következménye. Ha ez nem így volna, akkor fénysebesség méréssel különbséget tudnánk tenni két inerciarendszer között. Ha ezt a két alaptörvényt elfogadjuk, akkor ebből az egész speciális relativitáselmélet felépíthető: minden törvénye igazolható vagy cáfolható.

Mint azt tudjuk, a Fizikában a természeti jelenségek leírása úgy történik, hogy a kiválasztott térrész minden $(x,y,z)$ pontjában és minden $t$ időpontban meghatározzuk valamely $F$ fizikai mennyiség értékét. Ez szükségképpen mindig egy skalár mennyiség (szám + mértékegység). Az ismert természettörvények segítségével az $F(x,y,z,t)$ függvény kiszámítható és az eredmény mérésekkel ellenőrizhető. A [http://en.wikipedia.org/wiki/Special_relativity speciális relativitáselmélet] arról szól, hogy milyen kapcsolat van az állónak tekintett $K$ és a mozgó $K'$ rendszerben meghatározott adatok között:

$$ (x,y,z,t)\quad\leftrightarrow\quad(x',y',z',t'),\qquad F \quad\leftrightarrow\quad F'.$$

Láttuk, hogy a mechanikában az álló és a mozgó megfigyelő által mért helykoordináta és idő adatok között a Galilei-transzformáció teremt kapcsolatot. Az erőkomponensek és a tömeg pedig ugyanaz mind a két rendszerben (azaz nem transzformálódik). Az már rögtön látszik, hogy a Galilei-transzformáció nem teljesíti azt a posztulátumot, amely szerint a fénysebesség minden inerciarendszerben ugyanaz a $c$ érték. Ez a már bemutatott sebesség összeadási formulából következik ($\dot{x}'=\dot{x}-u$). Ezért egy új transzformációt kell keresnünk. Ezt a transzformációt már Einsteintől függetlenül [http://en.wikipedia.org/wiki/Hendrik_Lorentz Hendrik Antoon Lorentz] és [http://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9 Henri Poincaré] megtalálta. Ők arra a transzformációra jöttek rá, amely a Maxwell-egyenleteket változatlanul hagyja. Tehát egy speciális jelenségkört, az elektrodinamikát vizsgálták. Ezt a transzformációt a fizikus társadalom ''Lorentz-transzformációnak'' nevezte el. Einstein egyik nagy érdeme többek között az, hogy meglátta ennek a transzformációnak az alapvető és univerzális voltát, amely gyökeresen megváltoztatta a térről és az időről alkotott newtoni szemléletünket. És ennek megfelelően a természeti törvények fontos szimmetriatulajdonságára mutatott rá (lásd Einstein első posztulátumát).

A jelen tanulmányink során mi csak a relativisztikus kinematikával és a relativisztikus dinamikával tudunk foglalkozni. Az elektrodinamika relativisztikus tárgyalása (azaz az elektromos és a mágneses térerősség komponensek transzformációs tulajdonságainak ismertetése) már jócskán meghaladja e kurzus színvonalát.

=== A Lorentz-transzformáció ===

Az első feladatunk tehát az, hogy meghatározzuk azt a transzformációt, amelyik változatlanul hagyja a fény $c$ sebességét, ha az egyik inerciarendszerből egy másikra térünk át. Ezt a Maxwell-egyenletek nélkül is meg lehet csinálni (ez is Einstein ötlete volt!).

A gondolatmenet a következő. Tekintsük az álló és a mozgó vonatkoztatási rendszert az alapértelmezés szerinti Descartes koordinátákkal ellátva.

[[Fájl:Fiz2_Rel_04.jpg|közép|300px]]

A koordinátatengelyek kalibrálása (azaz tetszőleges méretű egyforma szakaszok kijelölése az $x$, $y$, $z$  tengelyeken) geometriai feladat és így egzaktul megoldható.

Alapvetően más a helyzet az időt mérő órákkal. Pontos [http://en.wikipedia.org/wiki/Kit-Cat_Klock órát] igen [http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Clocks sokféle módon] lehet készíteni. A technikatörténet a görögök által használt [http://en.wikipedia.org/wiki/Water_clock vízi óráktól] kezdve az [http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_clock inga-], a [http://en.wikipedia.org/wiki/Mechanical_watch rugós-] és a [http://en.wikipedia.org/wiki/Quartz_clock kvarcórákon] át a mai modern [http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_clock atomórákig] (lásd [http://en.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System GPS]) rengeteg fajta megoldást ismer. Ezek működésében a Fizika szinte minden ismert törvénye jelen van. Mondhatjuk tehát, hogy egy óra használata a természeti törvények „használatát” (is) jelenti. Egy adott rendszeren belül lévő óráknak pontosan egyformán kell járniuk. Nem kell, hogy ugyanolyan típusúak legyenek, de az időt egyformán kell mutatniuk. Ez egyszerű „kalibrálással” megoldható: az órákat egy „etalon” órához („ősórához”) kell igazítani. Hasonlóan ahhoz, mint amikor a hosszúság mérés etalonjának az „Ősmétert” használtuk. Így az órák használata (ami az Idő mérésének egyedüli lehetséges módja) a természeti törvények objektív megnyilvánulását jelenti. Hiszen minden óra (bármilyen típusú is legyen) a természeti törvényeknek megfelelően működik.

Vizsgáljuk meg, hogy mit kell tapasztalnia az álló és a mozgó megfigyelőnek, ha az Einstein-posztulátumok valóban jól tükrözik a Természet „működését”. Mint tudjuk, az alapértelmezés (sztenderd elrendezés) szerint az időszámítás kezdete mindkét rendszerben ugyanaz az esemény definiálja. Nevezetesen, amikor az origók éppen fedték egymást, azaz:

$$ t=t'=0,\qquad O=O'. $$

Az ábrán a következő kísérlet elvi vázlata látható. Indítsunk el egy fényjelet a $t=t'=0$ időpillanatban és nézzük meg, hogy a megfigyelőknek a posztulátumok érvényességének a következtében mit kell tapasztalniuk.

[[Fájl:Fiz2_Rel_05.jpg|közép|350px]]

A válasz egyszerű: az álló megfigyelő azt látja, hogy az $x$ helyen lévő óra $t$ időt mutat, a mozgó megfigyelő pedig azt tapasztalja, hogy az $x'$ helyen lévő óra $t'$ időt jelez. És természetesen a fénysebesség állandósága szerint

$$ t=x/c,\qquad t'=x'/c. $$

Természetesen ugyanez a helyzet, ha a tér bármely $P(x,y,z)$ illetve $P'(x',y',z')$ pontját tekintjük, Ekkor értelemszerűen a

$$ t=r/c,\qquad t'=r'/c,\quad \text{ahol} \quad r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\quad \text{stb...} $$

összefüggések érvényesek (lásd ábra).

[[Fájl:Fiz2_Rel_06.jpg|közép|250px]]

Ezt a kísérletet felfoghatjuk úgy is, hogy ellenőriztük az órák (relativisztikusan) helyes működését. Azaz megnéztük, hogy mind az álló, mindpedig a mozgó rendszerben lévő órák eleget tesznek-e az Einsteini posztulátumoknak, azaz valóban teljesül-e a $c=c'$ feltétel? Ránézésre látszik, hogy a Galilei-transzformáció ezt nem elégíti ki. Az első egyenletét ($x'=x-ut$) osztva $c$-vel azt kapjuk, hogy

$$ \frac{x'}{c}=\frac{x}{c}-\frac{u}{c}t,\qquad t'=t\left(1-\frac{u}{c}\right)\qquad\Longrightarrow\qquad t'\neq t, $$

és ez ellentmondásban van a negyedik egyenlettel ($t'=t$). Tehát a Galilei-transzformáció és a fénysebesség invarianciája egyszerre nem lehet igaz! Nincsen más választás, mint feladni a Galilei-transzformációt és egy olyan másikat keresni, amely ezt a feltételt teljesíti.

Van még egy fontos támpontunk, amit a fizikai törvények megalkotásánál igen gyakran használunk: az ún. ''korrespondencia-elv''. Ez azt mondja ki, hogy <b>egy adott jelenségre vonatkozó „új” törvénynek határesetben mindig vissza kell adnia a „régit”</b>. Ugyanis az „új” törvény mindig megváltoztatja a „réginek” az érvényességi körét. Ettől még a régi állítások nem válnak hamissá, hiszen azokat továbbra is a „régi” feltételek között használjuk.

[[Fájl:Fiz2_Rel_07.jpg|közép|150px]]

Jelen esetben ez azt jelenti, hogy ha a mechanikát a $c$-hez mérten kis sebességeknél vizsgáljuk, akkor nyugodtan használhatjuk a Galilei-transzformációt. Például az előbbi esetben az $u/c$ arány sokkal kisebb lesz mint egy, ezért határesetben (pl. $c\to\infty$) visszakapjuk a Galilei-féle $t=t'$ összefüggést.

Az előzőekben már megbeszéltük, hogy két inerciarendszer a természeti jelenségek leírása szempontjából ekvivalens egymással. Ezért az „álló” és a „mozgó” szerepek kijelölése önkényes. Így, ha az egyik a másikhoz képest $+u$ sebességgel mozog, akkor a másik az egyikhez képest $-u$-val fog mozogni. Az eddig elmondottaknak megfelelően kézenfekvőnek tűnik, ha az „új” transzformációt következő alakban keressük:

$$ x'=\Gamma(x-ut),\quad x=\Gamma(x'+ut'),\quad t'\leftrightarrow t, $$

ahol a korrespondencia-elv következtében a még ismeretlen $\Gamma$-ra teljesülnie kell annak, hogy

$$ \lim_{u\to 0} \Gamma = 1. $$

Végezzük el most is a fenti óraellenőrzési kísérletet és nézzük meg, hogy miként kezeli ezt a mostani transzformáció! Írjuk be a $t=x/c$ és $t'=x'/c$ kifejezéseket a transzformációba. Azt kapjuk, hogy

$$ x'=\Gamma x \left(1-\frac{u}{c} \right),\quad x=\Gamma x' \left(1+\frac{u}{c} \right). $$

$$ x'x = \Gamma^2\cdot xx' \left(1-\frac{u}{c} \right) \left(1+\frac{u}{c} \right),\quad

\Gamma=\frac{1}{\sqrt{1-{u^2}/{c^2}}}. $$

$$ \lim_{c\to\infty} \Gamma=1 \quad (u\ll c).$$

Ezek után áttérhetünk az idő transzformációjának a meghatározására ($t'\leftrightarrow t$). $x'=\Gamma(x-ut)$-t beírva az $x=\Gamma(x'+ut')$ egyenletbe, $x'$-t ki tudjuk ejteni. Azt kapjuk, hogy

$$ x = \Gamma^2 (x - ut) + \Gamma ut'. $$

Ebből $t'$ kifejezhető és átrendezés után megkapjuk az idő transzformációs tulajdonságát (a részletek házi feladat):

$$ t' = \Gamma t + \frac{x}{u}\frac{1-\Gamma^2}{\Gamma}, \quad t' = \Gamma \left( t - \frac{u}{c^2} x \right). $$

$$ \lim_{u\to 0} t' = t, $$

azaz visszakaptuk a Galilei-féle abszolút idő fogalmát. Ezzel megszületett a Lorentz-transzformáció:

x' &= \Gamma(x-ut), \\

y' &= y, \\

z' &= z, \\

A következőkben megvizsgáljuk, hogy milyen következményei vannak ennek az új, relativisztikus szemléletnek. Az alkalmazások megkövetelik egy régi-új fogalom bevezetését. Ez az [http://en.wikipedia.org/wiki/Event ''esemény'']. Ez azt jelenti, hogy a tér egy $(x,y,z)$ pontjában (ez az esemény helye) a $t$ időpillanatban (ez az esemény időpontja) az $F$ fizikai mennyiség felvesz egy értéket (ez maga az esemény).

[[Fájl:Fiz2_Rel_08.jpg|közép|300px]]

Ahhoz tehát, hogy egy eseményt meghatározzunk, a tér minden pontjához hozzárendeljük az ő helyét meghatározó Descartes koordinátákat és elhelyezünk egy („pontszerű”) órát, amelyiket az imént bemutatott szinkronizálási eljárással kalibráltunk. Ez mutatja az adott pontban a mindenkori $t$ időpontot. Ugyanezt az $F$ eseményt szemlélhetjük a mozgó rendszerből is. Ekkor természetesen $x'$, $y'$, $z'$, $t'$ és $F'$ értékeket mérünk. Minden természeti jelenség ilyen elemi események sokaságából épül fel. Ezért (az általánosság minden csorbítása nélkül) elegendő az adott fajta események közül csak egynek a transzformációs tulajdonságait megvizsgálni.

Ha rátekintünk a Lorentz-transzformációra, láthatjuk, hogy a $t'$ meghatározásához nem csak a $t$-re, de még az $x$-re is szükségünk van. Azaz nem csak az számít, hogy mikor, hanem az is, hogy hol történik az az esemény, amelynek a mozgó rendszerbeni időpontját meg szeretnénk tudni. Az Időnek ez a furcsa tulajdonsága azt mutatja, hogy az idő- és a térkoordináták mintegy „összefonódnak” és egységes egészként transzformálódnak. Ezért a $(ct,x,y,z)$ számnégyest a [http://en.wikipedia.org/wiki/Spacetime „Téridő”] egy pontjának nevezzük. Olyan tulajdonságai vannak, mint egy négydimenziós vektortérnek. Az események tehát a téridőben zajlanak. A $K$-ból a $K'$-be való átszámolás a téridő transzformációs tulajdonsága. Ez az amit Lorentz-transzformációnak neveztünk. A téridő igen szemléletes geometriai reprezentációját [http://en.wikipedia.org/wiki/Hermann_Minkowski Hermann Minkowski] (1907) alkotta meg.

Mint említettük, mi csak a kinematikával és a dinamikával fogunk foglalkozni. Ekkor az $F$ mennyiség felépíthető az $(x,y,z,t)$ mennyiségekből (sebesség, gyorsulás). Mivel a „tér+idő” adatok (Lorentz-)transzformációja ismert, így az ezekből származtatott $F$ transzformációja definíció szerint meghatározható. A következőkben ezt részletesen is tárgyalni fogjuk. Minden más esetben (pl. erőkomponensek, elektromos és mágneses térerősség komponensei stb.) az $F$ transzformációját külön meg kell határozni. A fizikusok kidolgoztak erre egy „koherens” és „szisztematikus” módszert, de ez meghaladja ennek a kurzusnak a lehetőségeit.

== A Lorentz-transzformáció a kinematikában (relativisztikus kinematika) ==

=== A hosszkontrakció ===

Tekintsük a következő feladatot! Az álló $K$ rendszerben lévő megfigyelő mérje meg a mozgó $K'$ rendszer $x'$ tengelyén fekvő, $L_0$ hosszúságú rúdnak a hosszát. A rúd végeinek koordinátáit jelölje $(x_2', x_1’)$.

Einstein szemléletes példájával élve az a kérdés, hogyan lehet meghatározni egy száguldó vonat hosszát a sínpár mellett állva? A megoldás igen egyszerű. Állítsunk fel a sín mentén (egy sorban) nagyon sok megfigyelőt, akik szorosan egymás mellett állnak. Minden megfigyelőnek a kezében legyen egy óra. Minden megfigyelőnek az a feladata, hogy állítsa meg az óráját, amikor a vonat eleje éppen elhalad az orra előtt. Mi is álljunk be a sorba és állítsuk meg az óránkat, ha megpillantjuk a vonat végét. Amikor a vonat elrobog a sor előtt, minden megfigyelő (magunkat is beleértve) megállítja az óráját a kapott utasításnak megfelelően. Nyílvánvaló, hogy csak egyetlen olyan megfigyelő lesz, akinek az órája éppen a mi óránkkal egyező időpontot mutat. Ennek a megfigyelőnek a tőlünk mért távolsága lesz a mozgó vonat hossza. Hiszen ugyanabban a pillanatban láttuk meg mi a vonat végét, mint amikor a másik megfigyelő a vonat elejét. Azt mondjuk, hogy ez a két megfigyelés egy időben történt. Az elmondottak könnyen lefordíthatók az „események nyelvére” a következőképen.

Az álló rendszerben a rúd hosszát két esemény definiálja. Az egyik, amikor megpillantjuk a rúd elejét $(x_2, t_2)$, a másik, amikor a végét $(x_1, t_1)$. A két esemény egyidejű, tehát $t_1 = t_2 = t$. A mozgó rúd hosszát a $K$ rendszerben az $L = x_2 - x_1$ kifejezés definiálja. A rúd hossza a (vele együtt) mozgó $K'$ rendszerben nyilvánvalóan $L_0 = x_2' - x_1'$. Ezt nevezzük ''nyugalmi hossznak'', hiszen ekkor a szakaszhoz képest nyugalomban vagyunk.

[[Fájl:Fiz2_Rel_09.jpg|közép|350px]]

A két esemény kapcsolata a Lorentz-transzformációnak megfelelően:

$$ x_1'=\Gamma(x_1 - ut),\quad x_2'=\Gamma(x_2 - ut). $$

$$ L_0 = x_2' - x_1' = \Gamma(x_2 - x_1) = \Gamma L,\quad L = L_0 \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}. $$

A jelenség neve ''hosszkontrakció''. Eszerint egy mozgó rúd hossza a mozgás irányában „megrövidül”. Az inerciarendszerek ekvivalenciájából következik, hogy mindez „fordítva” is igaz: ha ugyanekkor elhelyezünk egy $L_0$ nyugalmi hosszúságú rudat az álló $K$ rendszer $x$ tengelye mentén, akkor ennek a hosszát a mozgó rendszerből mérve észleljük rövidebbnek.

Joggal felmerülhet a kérdés, hogy mármost kinek van igaza? Az eddigiek szellemében csak azt mondhatjuk, hogy ''mindkét megfigyelőnek igaza van''! Ezen nem kell csodálkozni, hiszen a két mérés teljesen másképpen történt. A „nyugalmi hossz” és a „mozgási hossz” meghatározása valójában két különböző típusú mérés volt. A „hagyományos eljárás”, azaz a rudak közvetlen összehasonlítása lehetetlen, hiszen nem tudunk „átugrani” (kezünkben a rúddal) $K$-ból $K'$-be!

Természetesen, az iménti levezetés akkor is elvégezhető, ha nincsenek jelen a merev (fizikai) rudak, csak a kijelölt $x_1$ és $x_2$ koordinátapontok. Ezért azt mondhatjuk, hogy a hosszkontrakció nem az anyagi rudak tulajdonsága, hanem magának a Térnek a sajátossága.

Erre a merész következtetésre Einstein jutott először. Lorerntz-Fitzgerald ugyanis a rudak… Pozitivizmus…

=== Az idődilatáció ===

Mint az eddig kiderült, a relativitáselmélet megfosztotta az Időt a rárakodott pszichológiai, és az ebből fakadó filozófiai rétegektől, és egzaktul mérhető mennyiséggé tette. Az Idő az a paraméter, amely a lezajló események sorrendiségét regisztrálja. Az Időt ''órával'' mérjük. Egy órát bármilyen objektummal megvalósíthatunk, ha az eleget tesz a méréseknél használt általános követelményeknek. Az óra lehet tehát akár fizikai, kémiai, vagy biológiai képződmény (szerkezet) is.

[[Fájl:Fiz2_Rel_10.jpg|közép|350px]]

A kérdés az, hogy milyen $T$ egységidőtartamot mér az álló megfigyelő? Nyilvánvalóan elegendő csak két egymást követő eseményt vizsgálni. Azaz határozzuk meg, hogy az álló megfigyelő milyen adatokat detektál az $(x', t_1')$ és az $(x', t_2')$ eseményeket mérve. Az álló megfigyelő azt látja, hogy az óra $x$ koordinátája állandóan változik. Azaz a szóban forgó két esemény tér-idő adatait $(x_1, t_1)$ illetve $(x_2, t_2)$ lesznek.

Mint tudjuk, az álló és a mozgó megfigyelő adatai között a Lorentz-transzformáció teremt kapcsolatot. Azaz írhatjuk, hogy:

$$ t_1 = \Gamma\left( t_1' - \frac{u}{c^2} x' \right),\quad t_2 = \Gamma\left( t_2' - \frac{u}{c^2} x' \right). $$

$$ T = t_2-t_1 = \Gamma(t_2' - t_1') = \Gamma T_0,\quad T = \frac{T_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}}. $$

Látható tehát, hogy $T > T_0$, azaz az álló megfigyelő szerint a mozgó óra lassabban jár. Például, ha $u = c\sqrt{1-1/25} \,(= 293 735 420 \, \rm{m/s})$, az álló megfigyelő óráján $T = 5$ óra telik el, amíg a mozgó óra csak $T_0 = 1$ órát megy tovább. Az inerciarendszerek ekvivalenciája miatt a mozgó megfigyelő ugyanezt állítja az álló óráról. Természetesen jelen esetben is ''mindkét állítás helyes''. Ezen most sem kell csodálkoznunk, hiszen a mérési eljárás most is más volt az álló rendszerben, mint a mozgóban. Mint azt láttuk, egyrészt ugyanazon mozgó óra által mutatott két időpontot ($t_1'$, $t_2'$) határoztunk meg. Másrészt, az álló rendszerben történt méréskor két különböző helyen ($x_1$, $x_2$) lévő, két különböző óra által mutatott ($t_1$, $t_2$) időpontokat kellett használnunk. Az álló és a mozgó óra közvetlen összehasonlításra most sincsen lehetőség, hiszen a megfigyelők (zsebükben az óráikkal) nem hagyhatják el a saját rendszerüket.

[http://en.wikipedia.org/wiki/Paradox Paradoxonnak] egy elméleten belüli látszólagos ellentmondást nevezünk. Azért látszólagos, mert abból fakad, hogy valami lényeges tényt nem vettünk figyelembe vagy valamit  rosszul értelmeztünk. A paradoxonok feloldása azért nehéz, mert rutinszerűen gondolkodunk. Például hallgatólagosan olyan dolgokat feltételezünk, amelyek esetleg ellentmondanak az elmélet tételeinek. A relativitáselmélet állításai igen szokatlanok (pl. hoszkontrakció, idődilatáció) a hétköznapi tapasztalatoknak ellentmondanak. Ezért megszületésekor paradoxonok sokaságával próbálták cáfolni állításait. Mivel a relativitáselmélet jól tükrözi a Természetben lezajló jelenségeket (azaz egy „jó elmélet”)  így a paradoxonok mind feloldhatóak voltak. Némelyik olyan „szellemes”, hogy ma is használjuk az elmélet jobb megértetésének a céljából.  Az egyik ezek közül éppen az „ikerparadoxon”.

[[Fájl:Fiz2_Rel_11.jpg|közép|350px]]

Tegyük fel, hogy az űrhajó sebessége akkora, hogy $T=\Gamma T_0$ szerint $T_0 = 0.4T$. Ez kb. $u=0.9c$ sebességnek felel meg.

$A$ gondolatmenete a következő. $A$ a Földet természetesen állónak tekinti. Tudja jól, hogy a testvére, $B$, lassabban öregszik, mert megtanulta, hogy a mozgó óra lassabban jár, mint az álló. Amikor $A$ 50 éves, $B$ még csak 35 (ugyanis $25 + 0.4\cdot 25 = 35$). A terveknek megfelelően ekkor az űrhajó visszafordul és ugyanazzal az egyenletes sebességgel a Föld felé tart. $A$ szerint a testvére továbbra is lassabban öregszik. $A$ éppen 75 éves, amikor $B$ megérkezik. A visszaút $B$ számára ugyanolyan hosszú volt, mint az elmenetele, azaz szintén 10 évig tartott. $A$ arra számít, hogy $B$ éppen 45 évesen száll ki az űrhajóból. Így egy 45 éves és egy 75 éves ikerpár fog összeölelkezni.

Ezek után lássuk a történetet $B$ szemszögéből! Ő szintén önmagát tekinti állónak. Egyenletes sebességgel távolodik tőle a Föld, ahol testvére, $A$, lassabban öregszik mint ő. Ezt $B$ logikusnak tarja, hiszen az egyenletesen mozgó Földön az órák lassabban járnak. Amikor $B$ 35 éves, $A$ csak 29 (hiszen $25 + 0.4\cdot 10 = 29$). Ekkor $B$ megfordul és változatlan nagyságú, egyenletes sebességgel hazafelé tart. 10 év múlva megérkezik a Földre. Ekkor tehát 45 éves. De a visszaút alatt a testvére, $A$, szintén csak 4 évet öregedett, azaz 33 évesnek kell lennie. $B$ azt várja, hogy amikor 45 évesen kiszáll az űrhajóból, a 33 éves (fiatalabb) ikertestvérét fogja megölelni.

Ez nyilvánvaló ellentmondás (paradoxon), hiszen a 45 éves $B$ vagy a 75 éves, vagy a 33 éves $A$-val találkozik. A két gondolatmenet egyszerre nem lehet igaz! Az eredmény azonban ténykérdés, és az összeölelkezéskor kiderül, hogy melyikük gondolkodott helyesen. A paradoxon feloldása viszonylag egyszerű. $B$ gondolatmenete azért helytelen, mert az űrhajó az utazása során nem mindig viselkedett inerciarendszerként. Az elindulás, a fordulás és a fékezés alatt az űrhajó gyorsuló mozgást végzett. Ezzel a szimmetria megtört. Tehát egy 45 és egy 75 éves ember fog találkozni.  

A tárgyalt probléma egy új fogalom bevezetését generálja. Ez a ''sajátidő''. A sajátidő a megfigyelővel együtt mozgó óra által mért idő, bármilyen is legyen a megfigyelő mozgása. Jelen estben az $A$ sajátideje 75 év, a $B$-jé 45 év volt.

A pálya két végpontja adott ($P_1$, $P_2$). A pont végighalad a teljes pályán és a vele együtt mozgó megfigyelő méri a $t'$ időt a nála lévő órával. Ez lesz a ''sajátidő'', amelynek értéke legyen most $\tau_{12}$. Ugyanezt a mozgást nagyon sok inerciarendszerből megvizsgálhatjuk. Nyilvánvaló, hogy a mozgó óra által mutatott $\tau_{12}$ időtartam egyértelmű fizikai tény, és ez nem függ attól, hogy a mozgást melyik inerciarendszerből figyeljük. Válasszunk ki tetszőlegesen két inerciarendszert és jelöljük őket $K$-val és $K'$-vel. A szokásos alapértelmezés szerint definiáljuk a Descartes koordinátákat és a rendszeridőket. Az itt lévő megfigyelők a mozgó órát különböző képen látják mozogni. Ki-ki a saját rendszerében meg tudja mérni a mozgó óra futási idejét, legyen ez $T_{12}$ és $T_{12}'$. Ugyanakkor  mind a ketten  ki tudják számítani a $\tau_{12}$ is, amelyre ugyanazt a (helyes) értéket fogják kapni. Azt mondjuk, hogy a $\tau_{12}$ sajátidő egy invariáns mennyiség, azaz nem függ attól, hogy melyik inerciarendszerből nézve határozzuk meg az értékét.

A $K$-beli megfigyelő számolási módja a következő. Osszuk fel a pályát infinitezimális (egyenesnek tekinthető) szakaszokra!

[[Fájl:Fiz2_Rel_12.jpg|közép|300px]]

$$ {\rm d}\tau = {\rm d}t\sqrt{(1-v^2/c^2)}. $$

Mármost (a $K$-ból mérve) legyen a mozgó óra a pálya kezdeti pontjában $t_1$ időpillanatban és a végpontban $t_2$ pillanatban! Így a következő írható:

$$ \tau_{12} = \int_{\tau_1}^{\tau_2} {\rm d}\tau = \int_{t_1}^{t_2} {\rm d}t \sqrt{1-v^2 / c^2} \leq

\int_{t_1}^{t_2} {\rm d}t = t_2 - t_1 = T_{12}. $$

Mint azt már a bevezetésben említtettük, a speciális relativitáselmélet megalapozásában sokan részt vettek. Lorentz és Poincare munkái vezettek a legmesszebbre. Az elektrodinamika Maxwell-egyenleteinek a vizsgálata során ők is eljutottak az idő „relatív” voltáig: az álló és a mozgó inerciarendszerben mért idők transzformációs tulajdonságához. Ezek az eredmények azonban mintegy „be voltak zárva” az elektrodinamikába. Albert Einstein volt az, aki mindezt a teljes általánosság szintjére emelte. Felismerte azt, hogy itt alapvető természeti törvényekről van szó, amelyek (többek között) a Térről és az Időről tesznek alapvető kijelentéseket és száműzte az ''éter'' fogalmát a Fizikából. Ennek megfelelően ő volt az, aki egyszerű, áttekinthető, logikus rendszerbe (axiómák) szervezte a relativisztikus törvényeket. Ezért aztán (természetesen elismerve az elődök munkáit is) méltán beszélünk ''Einstein-féle speciális relativitáselméletről''.

Az elődökön való túllépést jelenti az az igen fontos einsteini felismerés is, hogy az ''egyidejűség'' is relatív fogalom. Nincsen „abszolút” egyidejűség: ha két esemény az egyik inerciarendszerben egy időben történik, akkor (lehetséges), hogy egy másikban a két esemény két különböző időpontban következik be. Sőt még az események sorrendje is megváltozhat. A következőkben erről lesz szó.

[[Fájl:Fiz2_Rel_15.jpg|közép|350px]]

Írjuk fel a két esemény időadatainak a Lorentz-transzformációját:

$$ t_1' = \Gamma(t_1 - u/c^2 x_1),\quad t_2' = \Gamma(t_2 - u/c^2 x_2). $$

$$ t_2' - t_1' = \Gamma(t_2 - t_1) - \Gamma u/c^2 (x_2 - x_1). $$

Legyen a két esemény egyidejű az álló rendszerben! Ez azt jelenti, hogy $t_1=t_2$. Ezért aztán adódik, hogy

$$ t_2' - t_1' = \Gamma u/c^2 (x_2 - x_1). $$

Látható, hogy két egyidejű esemény akkor lesz egyidejű a mozgó rendszerben is, ha az álló rendszerben egy helyen történtek: $x_1 = x_2$ és $t_1' = t_2'$. Az egyidejű események sorrendje a mozgó rendszerben az események álló rendszerbeli helyétől függ, azaz az $x_1-x_2$ előjelétől.

[[Fájl:Fiz2_Rel_13.jpg|közép|350px]]

$$ t_2' - t_1' = \Gamma(t_2 - t_1)\left(1 - u/c^2 \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}\right). $$

A kapott algebrai kifejezésnek igen szemléletes fizikai jelentése van. Tegyük fel, hogy $t_2 > t_1$, azaz az első esemény előbb történik meg, mint a második. Ekkor létezik egy olyan mozgó rendszer, amelyben a két esemény sorrendje megcserélődik. Ez akkor következik be, ha a második szorzótényező értéke negatív. Ez a tény azonban felvet egy alapvető problémát. Ha ugyanis a két esemény ok-okozati viszonyban van egymással (azaz az első esemény okozza a másodikat) akkor a sorrendcsere fizikai lehetetlenség, hiszen nem létezhet olyan inerciarendszer, amelyben az okozat megelőzi az okot (pl. előbb törik össze a pohár és csak utána esik le)! Látható, hogy ez a paradoxon akkor következne be, ha

$$ u \frac{\Delta x}{\Delta t} > c^2,\quad \Delta x = x_2 - x_1,\quad \Delta t = t_2 - t_1. $$

Ennek pedig az a szükséges feltétele, hogy $u$ és $\Delta x / \Delta t$ közül valamelyik, esetleg mindkettő nagyobb legyen $c$-nél. A második axióma szerint $c$ minden hatás terjedési sebességének a felső határa. Ez alapján $u\leq c$ triviális, mivel $u$ $K'$ sebessége $K$-ban, $\Delta x / \Delta t$ pedig annak a hatásnak az átlagsebessége, amelyet az első esemény elindít, és amely aztán előidézi a második bekövetkezését, tehát ennek is $c$-nél kisebb-egyenlőnek kell lennie. Ezzel tulajdonképpen igazoltuk a második axióma jogosságát.

[[Fájl:Fiz2_Rel_16.jpg|közép|300px]]

Mint tudjuk, a sebesség az elmozdulás-vektor idő szerinti deriváltja, amelyet a Descartes komponenseivel (is) megadhatunk. Mivel a Lorentz-transzformáció lineáris művelet, így változatlanul igaz lesz infinitezimális koordináta- és idő megváltozásokra is:

$$\begin{aligned}

{\rm d}x' &= \Gamma({\rm d}x - u {\rm d}t), \\

{\rm d}t' &= \Gamma({\rm d}t - u/c^2 {\rm d}x),

ahol $(\Delta\xi\to 0) = {\rm d}\xi$ és $\xi\in\lbrace x,y,z,t \rbrace$. Az infinitezimálisok „hányadosai” (definíciószerűen) éppen a klasszikus analízis deriváltjait adja. Az $x$ komponensre kapjuk tehát, hogy

$$ \frac{{\rm d}x'}{{\rm d}t'} = \frac{\Gamma({\rm d}x - u {\rm d}t)}{\Gamma({\rm d}t - u/c^2 {\rm d}x)}

= \frac{{\rm d}x/{\rm d}t - u}{1 - (u/c^2)({\rm d}x/{\rm d}t)} \equiv \frac{\dot{x} - u}{1 - (u/c^2)\dot{x}}. $$

Az $y$ komponensre pedig:

$$ \frac{{\rm d}y'}{{\rm d}t'} = \frac{{\rm d}y'}{\Gamma({\rm d}t - u/c^2 {\rm d}x)}

= \frac{{\rm d}y/{\rm d}t}{\Gamma(1 - (u/c^2)({\rm d}x/{\rm d}t))} \equiv \frac{\dot{y}}{\Gamma(1 - (u/c^2)\dot{x})}. $$

Látható, hogy kis sebességek esetén éppen a jól ismert Galilei-féle sebességösszeadási formulát kapjuk. A kapott eredményeket két feladattal világítjuk meg.

<b>Első példa a sebességek összeadására</b>

[[Fájl:Fiz2_Rel_17.jpg|közép|300px]]

Mozogjon egy fénysugár $c$ sebességgel az álló $K$ rendszer $y$ tengelye mentén. Határozzuk meg a fénysugár sebességét a mozgó $K'$ rendszerhez képest! Az álló rendszerben a sebességadatok a következők:

$$ \dot{x} = 0,\quad \dot{y} = c. $$

$$\begin{aligned}

\dot{x}' &= \frac{\dot{x} - u}{1 - (u/c^2)\dot{x}} = -u, \\

\dot{y}' &= \frac{\dot{y}}{\Gamma(1 - (u/c^2)\dot{x})} = \frac{c}{\Gamma} = c\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}.

\end{aligned}$$

$$ {c'}^2 = u^2 + c^2(1 - u^2/c^2) = c^2. $$

[[Fájl:Fiz2_Rel_18.jpg|közép|250px]]

A csillagászatból jól ismert jelenségről van szó. A mozgó Földön lévő megfigyelő éppen ezt a szögelhajlást tapasztalja, amikor az állócsillagok helyét (fél év időkülönbséggel, Föld sebességére merőleges irányban) pl. tavasszal és ősszel megméri. Ennek az effektusnak a neve [http://en.wikipedia.org/wiki/Aberration_of_light ''csillagászati aberráció''].

<b>Második példa a sebességek összeadására</b>

Indítsunk el egy fénysugarat a mozgó $K'$ rendszer $x'$ tengelye mentén.

[[Fájl:Fiz2_Rel_19.jpg|közép|300px]]

 

$$ \dot{x}' = c. $$

$$ \dot{x} = \frac{\dot{x}' + c}{1 + (u/c^2) \dot{x}'} = \frac{c+u}{1+u/c}. $$

Ezt a kísérletet [http://en.wikipedia.org/wiki/Hippolyte_Fizeau Hippolyte Fizeau] már 1851-ben [http://en.wikipedia.org/wiki/Fizeau_experiment elvégezte]. Korrekt magyarázatot a speciális relativitáselmélet sebességösszeadási technikája szolgáltatja. A mérés vázlata az ábrán látható.

[[Fájl:Fiz2_Rel_20.jpg|közép|380px]]

Az „U” alakúra hajlított üvegcsőben $u$ sebességgel folyadék áramlik. A félig áteresztő tükörrel két részre osztott fénynyaláb az egyik ágban a folyadék áramlásával egy irányban, a másik ágban vele szemben halad. Így a fénysugarak a két ágban, tükrökhöz képest különböző sebességgel mennek. Az ágak geometriai hossza (elvileg) megegyezik. Az üvegcsövet elhagyó nyalábokat egy másik féligáteresztő tükörrel újra egyesítjük. A sebességkülönbségekből adódó optikai úthossz-különbség miatt az egyesülő nyalábok interferenciavonalakat hoznak létre a felfogó ernyőn (ez a detektor). Ezt az optikai elrendezést [http://en.wikipedia.org/wiki/Fabry%E2%80%93P%C3%A9rot_interferometer Fabry-Perot interferométernek] hívják.

Alkalmazzuk a relativitáselméletet a jelen kísérletre! A tükrök és a detektor alkotják az álló $K$ rendszert. Az áramló folyadék lesz a mozgó $K'$ rendszer. Ebből kettő is van, az interferométer két ágában. Elegendő csak az egyiket megvizsgálni, mert a másik (fizikailag) ugyanilyen, csak a végső formulában folyadék sebességének az előjelét kell megváltoztatni ($u$ helyett $-u$).

Alkalmazva a relativisztikus sebességösszeadási formulát, kapjuk, hogy

$$ v_x = \frac{v_x' + u}{1 + (u/c^2)v_x'},\quad u v_x' \ll c. $$

$$\begin{aligned}

v_x &\approx (v_x' + u)(1 - (u/c^2)v_x') = \\

&= v_x' + u - u\frac{{v_x'}^2}{c^2} - \frac{u^2}{c^2}v_x' \approx

&\approx v_x' + u - u\frac{{v_x'}^2}{c^2}.

\end{aligned}$$

$$ v_x' = c/n. $$

$$ v_x \approx c/n + u - u/n^2 = c/n + u(1 - 1/n^2). $$

Ugyanez igaz a másik ágban is, de ekkor az $u$ helyére $-u$-t kell írnunk:

$$ v_x \approx c/n - u(1 - 1/n^2). $$

A két ágban fellépő sebességkülönbség optikai úthossz-különbséget ad. Ezt már az interferométer ki tudja mutatni.

A [http://en.wikipedia.org/wiki/Muon ''μ-mezon''] vagy ''műon'' egy instabil (szubatomi, azaz a [http://en.wikipedia.org/wiki/Proton protonnál] kisebb, de az [http://en.wikipedia.org/wiki/Electron elektronnál] nagyobb) részecske, amely $\tau_0=2.2 \, {\rm \mu s}$ alatt elbomlik. Ezek a részecskék a Föld felső légkörében, $H=4700 \, {\rm m}$ magasan keletkeznek, a kozmikus sugárzás eredményeképpen. A mérések azt mutatják, hogy a Föld felszínén is detektálunk mű-mezonokat. Ez azért meglepő, mert a részecske átlagsebessége

$$ v_{\mu} = \frac{4700 \, {\rm m}}{2.2\cdot 10^{-6} \, {\rm s}} = 2.1\cdot 10^9 \, {\rm m/s} \approx 7c . $$

[[Fájl:Fiz2_Rel_21.jpg|közép|200px]]

A válasz az idődilatációban és/vagy a hosszkontrakcióban rejlik. A szóban forgó jelenséget mind a Földhöz rendelt álló $K$, mind pedig a Föld felszíne felé száguldó mű-mezonhoz rögzített mozgó $K'$ (inercia)rendszerből is megvizsgáljuk.

A földi megfigyelő szerint azért éri el a mezon a Föld felszínét, mert a $K$-ban $v_μ$ sebességgel mozgó $K'$-ben az idő lassabban telik. Azaz $\beta\equiv u/c$ szerint

$$ H = u \frac{\tau_0}{\sqrt{1-\beta^2}} = u\cdot\tau. $$

A mű-mezon szempontjából, a Föld mozog $u$ sebességgel, így a hosszkontrakció miatt a $H$ távolságot a mezonnal együtt mozgó megfigyelő (ez maga a mű-mezon) rövidebbnek méri, azaz

$$ H' = u\tau_0,\quad H\sqrt{1 - \beta^2} = u\cdot\tau_0. $$

$$ \sqrt{1 - \beta^2} = \beta \frac{c\tau_0}{H} = \beta \cdot A,\quad

A\equiv \frac{c\tau_0}{H},\quad 1-\beta^2 = A^2\beta^2. $$