„Termodinamika példák - Az entrópia hőmérséklet- és térfogatfüggése, az adiabata egyenlete” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
a (Szöveg koherenssé tétele)
 
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva)
12. sor: 12. sor:
 
#* a) <wlatex>Vezesse le az entrópia hőmérséklet- és térfogatfüggését megadó összefüggést!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Vizsgálja az entrópiaváltozást adiabatikus folyamatban!}}{{Végeredmény|content=$$S=\frac{m}{M}R\ln\left(T^{\frac{1}{\gamma-1}}V\right)+S_0$$}}</wlatex></includeonly>
 
#* a) <wlatex>Vezesse le az entrópia hőmérséklet- és térfogatfüggését megadó összefüggést!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Vizsgálja az entrópiaváltozást adiabatikus folyamatban!}}{{Végeredmény|content=$$S=\frac{m}{M}R\ln\left(T^{\frac{1}{\gamma-1}}V\right)+S_0$$}}</wlatex></includeonly>
 
#* b) <wlatex>A kapott entrópia-kifejezés segítségével vezesse le az adiabata egyenletét!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Vizsgálja az entrópiaváltozást adiabatikus folyamatban!}}{{Végeredmény|content=$$TV^{\gamma-1}=\mathrm{const.}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
#* b) <wlatex>A kapott entrópia-kifejezés segítségével vezesse le az adiabata egyenletét!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Vizsgálja az entrópiaváltozást adiabatikus folyamatban!}}{{Végeredmény|content=$$TV^{\gamma-1}=\mathrm{const.}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 +
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>Megoldás szövege
+
<wlatex>'''a)''' Az entrópiaváltozás definíciója
 +
$$ \mathrm{d}S = \frac{\delta Q}{T}, $$
 +
amibe helyettesítsük be a közölt hő első főtételből kifejezett
 +
$$ \delta Q = \mathrm{d}U+p\,\mathrm{d}V $$
 +
alakját, ahol $ \mathrm{d}U=n C_V\,\mathrm{d}T $ és $ p=\frac{nRT}{V}$:
 +
$$ \mathrm{d}S= n C_V \frac{\mathrm{d}T}{T} + nR \frac{\mathrm{d}V}{V}. $$
 +
 
 +
Kiintegrálva az egyenletet a kezdeti- és a végállapot között:
 +
$$ S - S_0 = n C_V \ln\frac{T}{T_0} + nR \ln\frac{V}{V_0}, $$
 +
ahol a fajhőösszefüggések szerint $C_p-C_V=r$ és $\frac{C_p}{C_V}=\gamma$, amikből $C_V = \frac{R}{\gamma-1}$:
 +
$$ S(T,V) = nR \ln\left[ \left(\frac{T}{T_0}\right)^{\textstyle \frac{1}{\gamma-1}} \frac{V}{V_0} \right] + S_0. $$
 +
 
 +
Ha a hőmérsékletet és a térfogatot dimenziótlanul, $T_0$ illetve $V_0$ egységekben adjuk meg, akkor helyes a
 +
$$ S(T,V) = nR \ln\left[ T^{\textstyle \frac{1}{\gamma-1}} V \right] + S_0 $$
 +
felírás is.
 +
 
 +
'''b)''' Adiabatikus állapotváltozásban az entrópia állandó ($S-S_0=0$), azaz $S(T,V)$ kifejezésében a logaritmus alatt $1$ áll:
 +
$$ \left(\frac{T}{T_0}\right)^{\textstyle \frac{1}{\gamma-1}} \frac{V}{V_0} = 1, $$
 +
vagyis az adiabata egyenlete
 +
$$ T^{\textstyle \frac{1}{\gamma-1}} V = \mathrm{const.} $$
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2013. május 13., 00:01-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Entrópia, II. főtétel
Feladatok listája:
  1. Izoterm tágulás
  2. Izobár táguláskor
  3. S(T,V), adiabata
  4. Id. g. entrópiája
  5. Forralás
  6. Hőcsere
  7. Carnot-körfolyamat
  8. Keveredési entrópia
    Gibbs-paradoxon
  9. Kaloriméterben
  10. Entrópiaváltozások
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Tekintsünk \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű, \setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% móltömegű, \setbox0\hbox{$\gamma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fajhőviszonyú ideális gázt.
    • a) Vezesse le az entrópia hőmérséklet- és térfogatfüggését megadó összefüggést!
    • b) A kapott entrópia-kifejezés segítségével vezesse le az adiabata egyenletét!

Megoldás

a) Az entrópiaváltozás definíciója

\[ \mathrm{d}S = \frac{\delta Q}{T}, \]

amibe helyettesítsük be a közölt hő első főtételből kifejezett

\[ \delta Q = \mathrm{d}U+p\,\mathrm{d}V \]

alakját, ahol \setbox0\hbox{$ \mathrm{d}U=n C_V\,\mathrm{d}T $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$ p=\frac{nRT}{V}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%:

\[ \mathrm{d}S= n C_V \frac{\mathrm{d}T}{T} + nR \frac{\mathrm{d}V}{V}. \]

Kiintegrálva az egyenletet a kezdeti- és a végállapot között:

\[ S - S_0 = n C_V \ln\frac{T}{T_0} + nR \ln\frac{V}{V_0}, \]

ahol a fajhőösszefüggések szerint \setbox0\hbox{$C_p-C_V=r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\frac{C_p}{C_V}=\gamma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, amikből \setbox0\hbox{$C_V = \frac{R}{\gamma-1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%:

\[ S(T,V) = nR \ln\left[ \left(\frac{T}{T_0}\right)^{\textstyle \frac{1}{\gamma-1}} \frac{V}{V_0} \right] + S_0. \]

Ha a hőmérsékletet és a térfogatot dimenziótlanul, \setbox0\hbox{$T_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% illetve \setbox0\hbox{$V_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egységekben adjuk meg, akkor helyes a

\[ S(T,V) = nR \ln\left[ T^{\textstyle \frac{1}{\gamma-1}} V \right] + S_0 \]

felírás is.

b) Adiabatikus állapotváltozásban az entrópia állandó (\setbox0\hbox{$S-S_0=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), azaz \setbox0\hbox{$S(T,V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kifejezésében a logaritmus alatt \setbox0\hbox{$1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áll:

\[ \left(\frac{T}{T_0}\right)^{\textstyle \frac{1}{\gamma-1}} \frac{V}{V_0} = 1, \]

vagyis az adiabata egyenlete

\[ T^{\textstyle \frac{1}{\gamma-1}} V = \mathrm{const.} \]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Termodinamika_példák_-_Az_entrópia_hőmérséklet-_és_térfogatfüggése,_az_adiabata_egyenlete&oldid=9894”