Termodinamika példák - Energia-összefüggések fajhőviszonnyal

Feladat

1. Állapítsuk meg, milyen összefüggés van egy ideális gáz által állandó nyomáson végzett $\setbox0\hbox{$\Delta W$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ munka, a gázzal közölt $\setbox0\hbox{$\Delta Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmennyiség és a $\setbox0\hbox{$\Delta U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ belső energia-változás között, ha a $\setbox0\hbox{$\gamma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhőviszony ismert!

Megoldás

Mivel a nyomás állandó, a gáz által végzett munka szorzatalakban felírható, amit az első főtétel segítségével tovább alakítunk:

$\[ \Delta W = p\Delta V = nR\Delta T.\]$

Az ekvipartíció tétele értelmében az ideális gáz belső energiája kifejezhető a hőmérsékletével, így a belső energia megváltozása is:

$\[ \Delta U = \frac{f}{2}nR\Delta T = \frac f 2\Delta W.\]$

Az állandó nyomáson a gázzal közölt hő definíció szerint felírható az állandó nyomáson mért fajhővel:

$\[ \Delta Q = C_pn\Delta T = \frac{C_p}{R} \Delta W.\]$

A $\setbox0\hbox{$\gamma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhőviszony és a gáz $\setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szabadsági fokai közti összefüggést alakítjuk:

$\[ \gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{f+2}{f},\]$

$\[ \frac{f}{2} = \frac{1}{\gamma-1}.\]$

Ezzel

$\[\Delta U = \frac{\Delta W}{\gamma-1}\]$

Az egyetemes gázállandó és a fajhők közötti kapcsolatot egyik fajhő definíciójából vezethetjük le:

$\[ C_V = \frac{1}{n}\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}T} = \frac{f}{2}R. \]$

A fajhőviszony segítségével

$\[ C_p = \left(\frac f 2+1\right)R = C_V+R = \frac{\gamma}{\gamma-1}R, \]$

amiből

$\[ \Delta Q = \frac{\gamma}{\gamma-1}\Delta W = \gamma\Delta U.\]$

Megjegyzés

Egy másik lehetőség az egyetemes gázállandó és a fajhők közötti kapcsolat megteremtésére, hogy állandó térfogaton

$\[ \Delta U = \delta Q = n C_V \Delta T, \]$

amit $\setbox0\hbox{$\Delta U = \frac{f}{2}nR\Delta T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-val összevetve szintén

$\[ C_V = \frac{f}{2}R. \]$