„Termodinamika példák - Ideális gáz részecskéinek energia szerinti eloszlása” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
a (Tördelés fejlesztése.)
 
(egy szerkesztő 4 közbeeső változata nincs mutatva)
6. sor: 6. sor:
 
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
 
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
 
| témakör    = Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok
 
| témakör    = Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok
 +
| rövid      = Kinetikus gázelmélet, transzport
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Az $F(v)$ sebességeloszlási függvényből a $w=mv^2/2$ összefüggés felhasználásával vezessük le az $f(w)$ energia-eloszlási függvényt, ahol $f(w)$ azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik $w$ és $w+\mathrm{d}w$ közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb $w_0$ energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$f(w)=\frac{A}{w_v\sqrt{2\mu}}\sqrt{w} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\}$$<br />$$w_0=\frac12kT,\qquad \langle w\rangle=\frac32kT$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
</noinclude><wlatex># Az $F(v)$ sebességeloszlási függvényből a $w=mv^2/2$ összefüggés felhasználásával vezessük le az $f(w)$ energia-eloszlási függvényt, ahol $f(w)$ azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik $w$ és $w+\mathrm{d}w$ közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb $w_0$ energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$f(w)=\frac{4}{v_0\sqrt{\pi}}\frac{1}{w_v\sqrt{2\mu}}\sqrt{w} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\}, \text{ ahol } w_v=\frac12 \mu v_0^2=kT$$<br />$$w_0=\frac12kT,\qquad \langle w\rangle=\frac32kT$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 +
 
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
 
<wlatex>Az [[Termodinamika példák - Stern-kísérlet|előző feladatban]] taglaltaknak megfelelően az
 
<wlatex>Az [[Termodinamika példák - Stern-kísérlet|előző feladatban]] taglaltaknak megfelelően az
$$F(v)=A \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 \exp\left\{ -\left(\frac{v}{{v}_{0}}\right)^2 \right\}$$
+
$$ F(v) = A \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 \exp\left\{ -\left(\frac{v}{{v}_{0}}\right)^2 \right\} $$
Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény szigorúan véve egy valószínűségi sűrűségfüggvény. Ahhoz, hogy az energia szerinti eloszlást (matematikailag ismét csak sűrűségfüggvényt) megkapjuk, egy mértéktranszformációt kell végrehajtanunk.
+
''Maxwell''-féle sebességeloszlás-függvény szigorúan véve egy valószínűségi sűrűségfüggvény, $v_0=\sqrt{\frac{2kT}{\mu}}$ a legvalószínűbb sebesség és $A=\frac{4}{v_0\sqrt{\pi}}$ a normáló tényező. Az energia szerinti eloszlás (matematikailag ismét csak sűrűségfüggvény) kiszámításához, egy mértéktranszformációt kell végrehajtanunk.
  
 
Ez fizikailag azt jelenti, hogy felírjuk a gázmolekulák $[v,v+\mathrm{d}v)$ sebességintervallumba eső hányadát és ezt megfeleltetjük a $[w,w+\mathrm{d}w)$ energiaintervallumnak:
 
Ez fizikailag azt jelenti, hogy felírjuk a gázmolekulák $[v,v+\mathrm{d}v)$ sebességintervallumba eső hányadát és ezt megfeleltetjük a $[w,w+\mathrm{d}w)$ energiaintervallumnak:
$$F(v)\,\mathrm{d}v=f(w)\,\mathrm{d}w,$$
+
$$ F(v)\,\mathrm{d}v = f(w)\,\mathrm{d}w, $$
 
ahol az intervallum kezdőpontja a
 
ahol az intervallum kezdőpontja a
$$w=\frac{1}{2}\mu {v}^{2} \qquad\Leftrightarrow\qquad v=\sqrt{\frac2\mu}\sqrt{w}$$
+
$$ w = \frac{1}{2}\mu {v}^{2} \qquad\Leftrightarrow\qquad v=\sqrt{\frac2\mu}\sqrt{w} $$
sebesség--energia-összefüggésből, hossza pedig ebből differenciálás útján kapható:
+
sebesség–energia-összefüggésből, hossza pedig ebből differenciálás útján kapható:
$$ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}w} = \sqrt{\frac2\mu} \frac1{2\sqrt{w}} \qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}w}{\sqrt{2\mu w}}.$$
+
$$ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}w} = \sqrt{\frac2\mu} \frac1{2\sqrt{w}} \qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}w}{\sqrt{2\mu w}}. $$
  
 
Behelyettesítés után:
 
Behelyettesítés után:
$$f\left(w\right)\mathrm{d}w = F(v)\,\mathrm{d}v= A \frac{w}{w_v} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\} \frac{1}{\sqrt{2\mu w}}\mathrm{d}w,$$
+
$$ f\left(w\right)\,\mathrm{d}w = F(v)\,\mathrm{d}v
 +
    = A \frac{w}{w_v} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\} \frac{1}{\sqrt{2\mu w}}\,\mathrm{d}w,$$
 
azaz
 
azaz
 
$$f\left(w\right) = B \sqrt{w} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\} ,$$
 
$$f\left(w\right) = B \sqrt{w} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\} ,$$
ahol $w_v=\frac12 \mu v_0^2=kT$ a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia és $B=\frac{A}{w_v\sqrt{2\mu}}$.
+
ahol $w_v=\frac12 \mu v_0^2=kT$ a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia és $B=\frac{A}{w_v\sqrt{2\mu}}$ normáló tényező.
  
 
Mivel $f(w)$ pozitív értékkészletű, $0$-ban és $\infty$-ben lecseng, azért extrémuma egyben a $w_0$-lal jelölt legvalószínűbb energia:
 
Mivel $f(w)$ pozitív értékkészletű, $0$-ban és $\infty$-ben lecseng, azért extrémuma egyben a $w_0$-lal jelölt legvalószínűbb energia:
$$\left.\frac{\mathrm{d}f(w)}{\mathrm{d}w}\right|_{w_0}=B\exp\left\{-\frac{w_0}{kT}\right\}\left(\frac1{2\sqrt{w_0}}-\frac{\sqrt{w_0}}{kT}\right)=0.$$
+
$$ \left.\frac{\mathrm{d}f(w)}{\mathrm{d}w}\right|_{w=w_0} = B \exp\left\{-\frac{w_0}{kT}\right\} \left(\frac1{2\sqrt{w_0}}-\frac{\sqrt{w_0}}{kT}\right) = 0. $$
A fenti kifejezésben csak a kerek zárójelben levő rész adhat nulla értékű tényezőt, ennek a tényezőnek a megoldása a legvalószínűbb energia, ami éppen a legvalószínűbb sebességhez tartozó energiának a fele:
+
A kifejezés gyöke a legvalószínűbb energia, a kerek zárójeles részből kapjuk, és éppen a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia fele:
$$w_0=\frac12kT=\frac12 w_v.$$
+
$$ w_0 = \frac12 kT = \frac12 w_v. $$
 
+
 
+
Az átlagos energiát az $f(w)$ függvény első momentumaként számíthatjuk:
+
  
$$ \langle w\rangle = \int_0^\infty w f(w)\,\mathrm{d}w = B \int_0^\infty w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w.$$
+
Az átlagos energia az $f(w)$ függvény első momentuma:
 +
$$ \langle w\rangle = \int_0^\infty w f(w)\,\mathrm{d}w
 +
    = B \int_0^\infty w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w. $$
  
Az integrál parciális integrálással (első tényezőt deriváljuk, másodikat integráljuk) kiértékelhető alakra hozható:
+
Ez parciális integrálással (első tényezőt deriváljuk, másodikat integráljuk) értékelhető ki:
$$ \langle w\rangle = \left[-B \, kT \, w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \right]_0^\infty - \frac32(-kT) \int_0^\infty B \sqrt{w}\exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w,$$
+
$$ \langle w\rangle = \left[-B \, kT \, w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \right]_0^\infty - \frac32(-kT) \int_0^\infty B \sqrt{w}\exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w, $$
ahol az első tag a határokon eltűnik, az integrál pedig éppen a teljes energiaeloszlás-függvény integrálja, azaz egy normált sűrűségfüggvény integrálja, aminek értéke $1$. Ezzel a részecskék átlagos energiája
+
az első tag a határokon eltűnik, az integrál pedig a teljes energiaeloszlás-függvény egy normált sűrűségfüggvény integrálja, azaz értéke $1$. Ezzel a részecskék átlagos energiája az ekvipartíció tételével összhangban
$$\langle w\rangle=\frac32kT$$
+
$$ \langle w\rangle = \frac32 kT. $$
az ekvipartíció tételével összhangban.
+
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2013. július 1., 13:49-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Kinetikus gázelmélet, transzport
Feladatok listája:
  1. Id. g. nyomása belső energiával
  2. Stern-kísérlet
  3. Energia szerinti eloszlás
  4. Vákuum
  5. Diffúzió és belső súrlódás
  6. Gáz szökése
  7. Gázcsere tartályok közt
  8. Gázcsere két gázzal
  9. Lineáris hőmérsékletprofil
  10. Jég fagyása
  11. Hővezetés
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Az \setbox0\hbox{$F(v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességeloszlási függvényből a \setbox0\hbox{$w=mv^2/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggés felhasználásával vezessük le az \setbox0\hbox{$f(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energia-eloszlási függvényt, ahol \setbox0\hbox{$f(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik \setbox0\hbox{$w$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$w+\mathrm{d}w$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb \setbox0\hbox{$w_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?

Megoldás

Az előző feladatban taglaltaknak megfelelően az

\[ F(v) = A \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 \exp\left\{ -\left(\frac{v}{{v}_{0}}\right)^2 \right\} \]

Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény szigorúan véve egy valószínűségi sűrűségfüggvény, \setbox0\hbox{$v_0=\sqrt{\frac{2kT}{\mu}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a legvalószínűbb sebesség és \setbox0\hbox{$A=\frac{4}{v_0\sqrt{\pi}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a normáló tényező. Az energia szerinti eloszlás (matematikailag ismét csak sűrűségfüggvény) kiszámításához, egy mértéktranszformációt kell végrehajtanunk.

Ez fizikailag azt jelenti, hogy felírjuk a gázmolekulák \setbox0\hbox{$[v,v+\mathrm{d}v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességintervallumba eső hányadát és ezt megfeleltetjük a \setbox0\hbox{$[w,w+\mathrm{d}w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiaintervallumnak:

\[ F(v)\,\mathrm{d}v = f(w)\,\mathrm{d}w, \]

ahol az intervallum kezdőpontja a

\[ w = \frac{1}{2}\mu {v}^{2} \qquad\Leftrightarrow\qquad v=\sqrt{\frac2\mu}\sqrt{w} \]

sebesség–energia-összefüggésből, hossza pedig ebből differenciálás útján kapható:

\[ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}w} = \sqrt{\frac2\mu} \frac1{2\sqrt{w}} \qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}w}{\sqrt{2\mu w}}. \]

Behelyettesítés után:

\[ f\left(w\right)\,\mathrm{d}w = F(v)\,\mathrm{d}v     = A \frac{w}{w_v} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\} \frac{1}{\sqrt{2\mu w}}\,\mathrm{d}w,\]

azaz

\[f\left(w\right) = B \sqrt{w} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\} ,\]

ahol \setbox0\hbox{$w_v=\frac12 \mu v_0^2=kT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia és \setbox0\hbox{$B=\frac{A}{w_v\sqrt{2\mu}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% normáló tényező.

Mivel \setbox0\hbox{$f(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pozitív értékkészletű, \setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ban és \setbox0\hbox{$\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ben lecseng, azért extrémuma egyben a \setbox0\hbox{$w_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-lal jelölt legvalószínűbb energia:

\[ \left.\frac{\mathrm{d}f(w)}{\mathrm{d}w}\right|_{w=w_0} = B \exp\left\{-\frac{w_0}{kT}\right\} \left(\frac1{2\sqrt{w_0}}-\frac{\sqrt{w_0}}{kT}\right) = 0. \]

A kifejezés gyöke a legvalószínűbb energia, a kerek zárójeles részből kapjuk, és éppen a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia fele:

\[ w_0 = \frac12 kT = \frac12 w_v. \]

Az átlagos energia az \setbox0\hbox{$f(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény első momentuma:

\[ \langle w\rangle = \int_0^\infty w f(w)\,\mathrm{d}w     = B \int_0^\infty w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w. \]

Ez parciális integrálással (első tényezőt deriváljuk, másodikat integráljuk) értékelhető ki:

\[ \langle w\rangle = \left[-B \, kT \, w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \right]_0^\infty - \frac32(-kT) \int_0^\infty B \sqrt{w}\exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w, \]

az első tag a határokon eltűnik, az integrál pedig a teljes energiaeloszlás-függvény – egy normált sűrűségfüggvény – integrálja, azaz értéke \setbox0\hbox{$1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ezzel a részecskék átlagos energiája az ekvipartíció tételével összhangban

\[ \langle w\rangle = \frac32 kT. \]