Termodinamika példák - Ideális gáz részecskéinek energia szerinti eloszlása

A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Stippinger (vitalap | szerkesztései) 2013. március 21., 18:47-kor történt szerkesztése után volt.

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok
Feladatok listája:
  1. Id. g. nyomása belső energiával
  2. Stern-kísérlet
  3. Energia szerinti eloszlás
  4. Vákuum
  5. Diffúzió és belső súrlódás
  6. Gáz szökése
  7. Gázcsere tartályok közt
  8. Gázcsere két gázzal
  9. Lineáris hőmérsékletprofil
  10. Jég fagyása
  11. Hővezetés
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Az \setbox0\hbox{$F(v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességeloszlási függvényből a \setbox0\hbox{$w=mv^2/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggés felhasználásával vezessük le az \setbox0\hbox{$f(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energia-eloszlási függvényt, ahol \setbox0\hbox{$f(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik \setbox0\hbox{$w$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$w+\mathrm{d}w$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb \setbox0\hbox{$w_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?

Megoldás

Az előző feladatban leírt indoklásnak megfelelően az

\[F(v)=A \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 \exp\left\{ -\left(\frac{v}{{v}_{0}}\right)^2 \right\}\]

Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény szigorúan véve egy valószínűségi sűrűségfüggvény. Ahhoz, hogy az energia szerinti eloszlást (matematikailag ismét csak sűrűségfüggvényt) megkapjuk, egy mértéktranszformációt kell végrehajtanunk.

Ez azt jelenti, hogy felírjuk a gázmolekulák \setbox0\hbox{$[v,v+\mathrm{d}v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességintervallumba eső hányadát és ezt megfeleltetjük a \setbox0\hbox{$[w,w+\mathrm{d}w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiaintervallumnak:

\[F(v)\,\mathrm{d}v=f(w)\,\mathrm{d}w,\]

ahol az intervallum hossza

\[w=\frac{1}{2}\mu {v}^{2} \qquad\Leftrightarrow\qquad v=\sqrt{\frac2\mu}\sqrt{w}\]

sebesség--energia-összefüggésből differenciálás útján kapható:

\[ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}w} = \sqrt{\frac2\mu} \frac1{2\sqrt{w}} \qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}w}{\sqrt{2\mu w}}\]

Behelyettesítés után:

\[f\left(w\right)\mathrm{d}w=A \frac{w}{w_v} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\} \frac{1}{\sqrt{2\mu w}}\mathrm{d}w,\]

ahol \setbox0\hbox{$w_v=\frac12 \mu v_0^2=kT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia.

Mivel \setbox0\hbox{$f(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pozitív értékkészletű, \setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ban és \setbox0\hbox{$\inf$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ben lecseng, azért extrémuma egyben a legvalószínűbb energia:

LaTex syntax error
\[\left.\frac{\mathrm{d}f\left(w\right)}{\mathrm{d}w}\right|_{w_0}=C\exp\left\{-\frac{w_0}{kT}\right\}\left(\frac1{2\sqrt{w_0}}-\frac{\sqrt{w_0}}{kT}\right)=0\\]
LaTex syntax error
\[ \frac{1}{2}-\frac{w}{kT}=0\\]
\[ {w}_{0}={w}_{lv}=\frac{1}{2}kT\]

Az átlagos-, várható energia:

$\stackrel{\bar }{w}={w}_{atl}}=\langle w\rangle =\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}wf\left(w\right)\mathrm{d}w=C\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{w}^{\frac{3}{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{w}{kT}}\mathrm{d}w=C\left(-kT{w}^{\frac{3}{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{w}{kT}}\right)
\[\]
\[  \]
LaTex syntax error
\[ 
0\end{array}-C\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\left(-kT\right)\frac{3}{2}\sqrt{w}{\mathrm{e}}^{-\frac{w}{kT}}\mathrm{d}w=\]
LaTex syntax error
\[ 
=0-0+\frac{3}{2}kT\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}C\sqrt{w}{\mathrm{e}}^{-\frac{w}{kT}}\mathrm{d}w=\frac{3}{2}kT\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}f\left(w\right)\mathrm{d}w=\frac{3}{2}kT\end{array}$\]
\[w_0=\frac12kT,\qquad \langle w\rangle=\frac32kT\]