„Termodinamika példák - Jég fagyása” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
a (Tördelés fejlesztése.)
 
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva)
6. sor: 6. sor:
 
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
 
| tárgynév    = Kísérleti fizika 3. gyakorlat
 
| gyaksorszám = 1
 
| gyaksorszám = 1
| példasorszám = 1
 
 
| témakör    = Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok
 
| témakör    = Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok
| előző  = Termodinamika - Állapotváltozás, I. főtétel
+
| rövid      = Kinetikus gázelmélet, transzport
| következő  = Termodinamika - Állapotváltozás, I. főtétel
+
| előzőpélda = Termodinamika példák - Lineáris hőmérsékletprofil
+
| következőpélda = Termodinamika példák - Hővezetés
+
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Mennyi idő alatt képződik $Z=5\,\mathrm{cm}$ vastag jégréteg egy tó felszínén, ha a léghőmérséklet $T_\ell=-10\,\mathrm{^\circ C}$, a víz hőmérséklete a jégréteg alatt $T_0=0\,\mathrm{^\circ C}$? Tegyük fel, hogy a jégréteg felső felülete mindig azonos hőmérsékletű a levegővel, alső felülete pedig mindig $0\,\mathrm{^\circ C}$-os. A jég olvadáshője $L_o=335\,\mathrm{\frac{J}{g}}$, hővezetési tényezője $\lambda=2,1\cdot10^{-2}\,\mathrm{\frac{J}{s\cdot cm\cdot ^\circ C}}$, sűrűsége pedig $\rho=0,92\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}}$.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= Írjuk fel egy elemi időtartam alatt keletkező elemi vastagságú jégréteg felszabadulásakor keletkező hőt, és tegyük fel, hogy ez a jégrétegen keresztül hővezetéssel távozik, majd integráljuk a kapott egyenletet. Az analitikus megoldás érdekében hanyagoljuk el a jég ''fajhőjét''.}} {{Végeredmény|content=$$z(t)=\left(\frac{2\lambda(T_0-T_\ell)}{\rho L_o}\right)^{1/2}t^{1/2},$$ 5 óra alatt képződik $5\,\mathrm{cm}$ vastag jégréteg.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
</noinclude><wlatex># Mennyi idő alatt képződik $Z=5\,\mathrm{cm}$ vastag jégréteg egy tó felszínén, ha a léghőmérséklet $T_\ell=-10\,\mathrm{^\circ C}$, a víz hőmérséklete a jégréteg alatt $T_0=0\,\mathrm{^\circ C}$? Tegyük fel, hogy a jégréteg felső felülete mindig azonos hőmérsékletű a levegővel, alső felülete pedig mindig $0\,\mathrm{^\circ C}$-os. A jég olvadáshője $L_o=335\,\mathrm{\frac{J}{g}}$, hővezetési tényezője $\lambda=2{,}1\cdot10^{-2}\,\mathrm{\frac{J}{s\cdot cm\cdot ^\circ C}}$, sűrűsége pedig $\rho=0{,}92\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}}$.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= Írjuk fel egy elemi időtartam alatt keletkező elemi vastagságú jégréteg felszabadulásakor keletkező hőt, és tegyük fel, hogy ez a jégrétegen keresztül hővezetéssel távozik, majd integráljuk a kapott egyenletet. Az analitikus megoldás érdekében hanyagoljuk el a jég ''fajhőjét''.}} {{Végeredmény|content=$$t(Z) = \left(\frac{\rho L_o}{2\lambda(T_0-T_\ell)}\right)\,Z^2, $$ 5 óra alatt képződik $5\,\mathrm{cm}$ vastag jégréteg.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
  
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
<wlatex>Most a
+
<wlatex>A hővezetés
 
$$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\lambda A\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}$$
 
$$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\lambda A\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}$$
hővezetési egyenletet arra használjuk fel, hogy felírjuk egy már létező $z$ vastagságú jégrétegen keresztüli hőkivonást, ami egy $\mathrm{d}Z$ vastagságú jégréteg megfagyasztásához szükséges.
+
alaptörvényét arra használjuk fel, hogy felírjuk egy már létező $z$ vastagságú jégrétegen keresztüli hőkivonást, ami egy $\mathrm{d}Z$ vastagságú jégréteg megfagyasztásához szükséges.
  
Ha a fagyás kellően lassú, feltehetjük, hogy az [[Termodinamika példák - Lineáris hőmérsékletprofil|előző feladatban]] bizonyított módon lineáris hőmérsékletprofil alakul ki a $Z(t)$ vastag jégrétegben.
+
Ha a fagyás kellően lassú*, feltehetjük, hogy az [[Termodinamika példák - Lineáris hőmérsékletprofil|előző feladatban]] bizonyított módon lineáris hőmérsékletprofil alakul ki a $Z(t)$ vastag jégrétegben.
 
$$\frac{dT}{dz}=\frac{T_0-T_\ell}{Z(t)} \qquad \forall z\in(0,Z(t))$$
 
$$\frac{dT}{dz}=\frac{T_0-T_\ell}{Z(t)} \qquad \forall z\in(0,Z(t))$$
  
A fagyás során vízből $\mathrm{d}z$ vastagságú $\mathrm{d}m$ tömegű $0\,\mathrm{^\circ C}$-os jégréteget
+
A fagyás során vízből $\mathrm{d}z$ vastagságú, $\mathrm{d}m$ tömegű $0\,\mathrm{^\circ C}$-os jégréteget
$$\mathrm{d}Q= -L_o\mathrm{d}m = -L_o\rho A\mathrm{d}Z$$
+
$$ \mathrm{d}Q= -L_o\,\mathrm{d}m = -L_o\rho A \,\mathrm{d}Z $$
 
hő elvonásával tudunk létrehozni.
 
hő elvonásával tudunk létrehozni.
  
 
A fenti ismereteket a hővezetési egyenletbe helyettesítve:
 
A fenti ismereteket a hővezetési egyenletbe helyettesítve:
$$L_o\rho A\frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}t}=-\lambda A\frac{T_0-T_\ell}{Z},$$
+
$$ L_o \rho A \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}t} = -\lambda A \frac{T_0-T_\ell}{Z}, $$
amit a változók szétválasztásának módszerével megoldhatunk, a
+
amit a változók szétválasztásának módszerével megoldhatunk,  
$$Z(t)=\left(\frac{2\lambda(T_0-T_\ell)}{\rho L_o}\right)^{1/2}t^{1/2},$$
+
$$ Z(t) = \left(\frac{2\lambda(T_0-T_\ell)}{\rho L_o}\right)^{1/2}t^{1/2}, $$
 +
$$ t(Z) = \left(\frac{\rho L_o}{2\lambda(T_0-T_\ell)}\right)\,Z^2, $$
 
azaz 5 óra alatt képződik $5\,\mathrm{cm}$ vastag jégréteg.
 
azaz 5 óra alatt képződik $5\,\mathrm{cm}$ vastag jégréteg.
  
 
== Megjegyzés ==
 
== Megjegyzés ==
A feladatot nagyon elbonyolítaná, ha figyelembe akarnánk venni, hogy a már meglevő jégrétegben fenn kell tartanunk a lineáris hőmérsékletprofilt és ez további (helyfüggő nagyságú) hőáramot igényel. Ez a közelítés $L_0 \gg c\cdot 10\,\mathrm{^\circ C}=20,93\,\mathrm{\frac{J}{g}}$ miatt indokolt nem túl vastag jégpáncélra.
+
<nowiki>*</nowiki> A feladatot nagyon elbonyolítaná, ha figyelembe akarnánk venni, hogy a már meglevő jégrétegben fenn kell tartanunk a lineáris hőmérsékletprofilt és ez további (helyfüggő nagyságú) hőáramot igényel. Ez a közelítés $L_0 \gg c\cdot 10\,\mathrm{^\circ C}=20{,}93\,\mathrm{\frac{J}{g}}$ miatt indokolt nem túl vastag jégpáncélra.
  
Ekkor a $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = -\alpha \frac{\mathrm{d}^2T}{\mathrm{d}z^2}$ hővezetési egyenletet $T(z=0,t)=-10\,\mathrm{^\circ C}$ és $T(z=Z(t),t)=0\,\mathrm{^\circ C}$ peremfeltétel mellett kellene megoldani, ahol $T(z,t)$ és $Z(t)$ is ismeretlen.
+
A valóságban a hőmérsékletprofil változását is figyelembe vevő $\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{\lambda}{c\rho} \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}$ nem stacionárius hővezetési egyenletet az előbbi, fagyást leíró egyenlettel együtt $T(z=0,t)=-10\,\mathrm{^\circ C}$ és $T(z=Z(t),t)=0\,\mathrm{^\circ C}$ mozgó peremfeltétel mellett kellene megoldani, ahol $T(z,t)$ és $Z(t)$ is ismeretlen.
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2013. június 13., 22:11-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Kinetikus gázelmélet, transzport
Feladatok listája:
  1. Id. g. nyomása belső energiával
  2. Stern-kísérlet
  3. Energia szerinti eloszlás
  4. Vákuum
  5. Diffúzió és belső súrlódás
  6. Gáz szökése
  7. Gázcsere tartályok közt
  8. Gázcsere két gázzal
  9. Lineáris hőmérsékletprofil
  10. Jég fagyása
  11. Hővezetés
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Mennyi idő alatt képződik \setbox0\hbox{$Z=5\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vastag jégréteg egy tó felszínén, ha a léghőmérséklet \setbox0\hbox{$T_\ell=-10\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a víz hőmérséklete a jégréteg alatt \setbox0\hbox{$T_0=0\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%? Tegyük fel, hogy a jégréteg felső felülete mindig azonos hőmérsékletű a levegővel, alső felülete pedig mindig \setbox0\hbox{$0\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-os. A jég olvadáshője \setbox0\hbox{$L_o=335\,\mathrm{\frac{J}{g}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, hővezetési tényezője \setbox0\hbox{$\lambda=2{,}1\cdot10^{-2}\,\mathrm{\frac{J}{s\cdot cm\cdot ^\circ C}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, sűrűsége pedig \setbox0\hbox{$\rho=0{,}92\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Megoldás

A hővezetés

\[\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\lambda A\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}\]

alaptörvényét arra használjuk fel, hogy felírjuk egy már létező \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vastagságú jégrétegen keresztüli hőkivonást, ami egy \setbox0\hbox{$\mathrm{d}Z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vastagságú jégréteg megfagyasztásához szükséges.

Ha a fagyás kellően lassú*, feltehetjük, hogy az előző feladatban bizonyított módon lineáris hőmérsékletprofil alakul ki a \setbox0\hbox{$Z(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vastag jégrétegben.

\[\frac{dT}{dz}=\frac{T_0-T_\ell}{Z(t)} \qquad \forall z\in(0,Z(t))\]

A fagyás során vízből \setbox0\hbox{$\mathrm{d}z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vastagságú, \setbox0\hbox{$\mathrm{d}m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű \setbox0\hbox{$0\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-os jégréteget

\[ \mathrm{d}Q= -L_o\,\mathrm{d}m = -L_o\rho A \,\mathrm{d}Z \]

hő elvonásával tudunk létrehozni.

A fenti ismereteket a hővezetési egyenletbe helyettesítve:

\[ L_o \rho A \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}t} = -\lambda A \frac{T_0-T_\ell}{Z}, \]

amit a változók szétválasztásának módszerével megoldhatunk,

\[ Z(t) = \left(\frac{2\lambda(T_0-T_\ell)}{\rho L_o}\right)^{1/2}t^{1/2}, \]
\[ t(Z) = \left(\frac{\rho L_o}{2\lambda(T_0-T_\ell)}\right)\,Z^2, \]

azaz 5 óra alatt képződik \setbox0\hbox{$5\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vastag jégréteg.

Megjegyzés

* A feladatot nagyon elbonyolítaná, ha figyelembe akarnánk venni, hogy a már meglevő jégrétegben fenn kell tartanunk a lineáris hőmérsékletprofilt és ez további (helyfüggő nagyságú) hőáramot igényel. Ez a közelítés \setbox0\hbox{$L_0 \gg c\cdot 10\,\mathrm{^\circ C}=20{,}93\,\mathrm{\frac{J}{g}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% miatt indokolt nem túl vastag jégpáncélra.

A valóságban a hőmérsékletprofil változását is figyelembe vevő \setbox0\hbox{$\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{\lambda}{c\rho} \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nem stacionárius hővezetési egyenletet az előbbi, fagyást leíró egyenlettel együtt \setbox0\hbox{$T(z=0,t)=-10\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$T(z=Z(t),t)=0\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% mozgó peremfeltétel mellett kellene megoldani, ahol \setbox0\hbox{$T(z,t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$Z(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% is ismeretlen.