Termodinamika példák - Stern-kísérlet

A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Stippinger (vitalap | szerkesztései) 2013. április 27., 10:21-kor történt szerkesztése után volt.

(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Kinetikus gázelmélet, transzport
Feladatok listája:
  1. Id. g. nyomása belső energiával
  2. Stern-kísérlet
  3. Energia szerinti eloszlás
  4. Vákuum
  5. Diffúzió és belső súrlódás
  6. Gáz szökése
  7. Gázcsere tartályok közt
  8. Gázcsere két gázzal
  9. Lineáris hőmérsékletprofil
  10. Jég fagyása
  11. Hővezetés
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Stern híres kísérletében, amellyel a Maxwell-eloszlás kísérleti igazolását adta, \setbox0\hbox{$1880\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-es ezüstszálról távozó atomok sebességeloszlását mérte meg, az ábrán vázolt elrendezéssel. Az \setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontbeli tengelyen elhelyezkedő szálról távozó ezüstatomok az \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nyíláson át jutottak az \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú hengerfelületre. A berendezés \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szögsebességgel forgott, aminek következtében a \setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességű atom az \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pont helyett \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ben csapódott le.
    Stern-kísérlet.png
    • a) Állapítsuk meg az \setbox0\hbox{$AB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ív \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszát \setbox0\hbox{$800\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességű atomok esetén, ha a fordulatszám \setbox0\hbox{$50\,\mathrm{s}^{-1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$R=20\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%!
    • b) Milyen sebességnél adják a legnagyobb rétegvastagságot a külső hengerfelületen lecsapódó ezüstatomok?

Megoldás

a) Az atomok repülési ideje \setbox0\hbox{$\Delta t=R/v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a berendezés kerületi sebessége \setbox0\hbox{$\omega R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ezzel az \setbox0\hbox{$AB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ív hossza

\[ x = \omega R \Delta t=\frac{\omega R^2}{v}. \]

b) A Maxwell-féle sebességeloszlás alakja

\[ F(v) = A\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\exp{\left\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\right\}}, \]

ahol \setbox0\hbox{$v_0=\sqrt{\frac{2kT}{\mu}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a legvalószínűbb sebesség és \setbox0\hbox{$A=\frac{4}{v_0\sqrt{\pi}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a normáló tényező. Az Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény egy matematikai konstrukció, valószínűségszámításban az ilyen típusú függvényeket helyesen sűrűségfüggvénynek nevezzük, a függvény egy-egy pontokban felvett értéke önmagában nem ad információt. A gázmolekulák \setbox0\hbox{$[v,v+\mathrm{d}v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességintervallumba eső hányadát \setbox0\hbox{$F(v)\,\mathrm{d}v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fejezi ki, a feladatmegoldás során ezzel a valódi mennyiséggel kell számolnunk, mivel az átparaméterezéssel az infinitezimális intervallum hossza is változik. Az \setbox0\hbox{$[x,\mathrm{d}x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% intervallumba érkező ezüstatomok \setbox0\hbox{$g(x)\,\mathrm{d}x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% száma (ami a rétegvastagsággal arányos mennyiség) megadható a részecske-áramsűrűséggel:

\[ J_v\,\mathrm{d}v = g(x)\,\mathrm{d}x. \]

Fejezzük a \setbox0\hbox{$J_v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% részecskeáram-sűrűséget az ismert adatokból! A \setbox0\hbox{$[v,v+\mathrm{d}v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességtartományban a részecskék számára illetve a részecskeszám-sűrűségre

\[ N_v\,\mathrm{d}v = N\,F(v)\,\mathrm{d}v, \]
\[ n_{Vv}\,\mathrm{d}v = n_V\,F(v)\,\mathrm{d}v. \]

A molekulaáram-sűrűség definíció szerint

\[ J_v\,\mathrm{d}v = v n_{Vv}\,\mathrm{d}v. \]

Az előző feladatrészben megteremtettük az \setbox0\hbox{$x(v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kapcsolatot, amiből a differenciálás útján bizonyítható transzformációs szabály

\[ |\mathrm{d}v| = \frac{\omega R^2}{x^2}\,\mathrm{d}x \]

(az ellentétes előjelet az ellentétes bejárást jelzi: nagy \setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességhez kis befutott \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ív tartozik). Behelyettesítve ezeket:

\[ J_v\,\mathrm{d}v = n_V A \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 \exp\left\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\right\}v\,\mathrm{d}v     = \frac{n_V A}{v_0^3} (\omega R^2)^4 \frac{1}{x^5} \exp\left\{-\left(\frac{\omega R^2}{v_0}\right)^2\frac1{x^2}\right\}\,\mathrm{d}x     = J(x)\,\mathrm{d}x.\]

A legnagyobb rétegvastagság ennek a függvénynek az extrémumánál lesz. Konstans faktor erejéig, \setbox0\hbox{$a=\frac{\omega R^2}{v_0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% jelöléssel:

\[ \frac{\mathrm{d}J(x)}{\mathrm{d}x} = \left. C\cdot \left[ 2\frac{a^2}{x^3}\frac1{x^5} - \frac5{x^6} \right] \exp\left\{-\left(\frac{a}{x}\right)^2\right\} \right|_{x=x_m} = 0. \]

A kifejezés zérussá csak \setbox0\hbox{$2a-5x_m^2=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% módon válhat, ahonnan a legnagyobb rétegvastagság helyére és a legvalószínűbb sebességre rendre

\[ x_m^2 = \frac{2a}{5}=\frac{2\omega^2R^4}{5v_0^2} \qquad\text{és}\qquad v_m=\frac{\omega R^2}{x_m}\Rightarrow v_m^2=\frac52v_0^2, \]
\[ x_m = \sqrt{\frac25}\,\frac{\omega R^2}{v_0} \qquad\text{és}\qquad v_m = \sqrt{\frac52}\,v_0 \]

kifejezések adódnak.