Termodinamika példák - Szilárd-folyadék átalakulás közelítő egyensúlyi görbéje

A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Stippinger (vitalap | szerkesztései) 2013. május 28., 21:00-kor történt szerkesztése után volt.

(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Fázisátalakulások
Feladatok listája:
  1. Izobár átalakulási hő
  2. Elforralás
  3. Telített gőz dugattyúban
  4. Kémiai potenciál
  5. Olvadáspont eltolódása
  6. Szil-foly átalak. görbéje
  7. Olvadáshő becslése
  8. Víz forráshője
  9. Argon olvadási görbéje
  10. Fázisok egyensúlya
  11. Fázisátalakulások rendje
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. A szilárd-folyadék egyensúlyi görbének (olvadási görbe) közelítő meghatározására gyakran használják a \setbox0\hbox{$\displaystyle p= p_1+\frac{L_M^{\text{olv}}}{\Delta  V_M^{\text{olv}}}\ln \frac T{T_1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggést (\setbox0\hbox{$T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a \setbox0\hbox{$p_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nyomáson, \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a \setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nyomáson érvényes olvadáspont, az egyenletben szereplő \setbox0\hbox{$L_M^{\text{olv}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az anyag moláris átalakulási hője (vagy moláris entalpiaváltozása), \setbox0\hbox{$\Delta V_M^{\text{olv}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a móltérfogat változása az olvadásnál).
    • a) Vezessük le ezt az egyenletet, és állapítsuk meg, hogy milyen feltételek mellett érvényes!
    • b) Mutassuk ki, hogy a \setbox0\hbox{$T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-hez képest kis \setbox0\hbox{$T-T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% érték eseten az egyensúlyi nyomás lineárisan változik a \setbox0\hbox{$T-T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% különbséggel!

Megoldás

a) Két fázis egyensúlyának szükséges feltételei, hogy

\[ p_1 = p_2 = p, \]
\[ T_1 = T_2 = T, \]

és

\[ \mu_1\left(p,T\right) = \mu_2\left(p,T\right). \]

A harmadik feltételből adódik, hogy az egyensúlyi görbén elmozdulva

\[ \mathrm{d}\mu_1 = \mathrm{d}\mu_2, \]

azaz a teljes differenciálok megegyeznek:

\[ \left(\frac{\partial \mu_1}{\partial p}\right)_T\,\mathrm{d}p + \left(\frac{\partial \mu_1}{\partial T}\right)_p\,\mathrm{d}T     = \left(\frac{\partial \mu_2}{\partial p}\right)_T\,\mathrm{d}p + \left(\frac{\partial \mu_2}{\partial T}\right)_p\,\mathrm{d}T. \]

A kémiai potenciálra érvényes differenciális összefüggéseket behelyettesítve:

\[ \left(S_{M2}-S_{M1}\right)\,\mathrm{d}T = \left(V_{M2}-V_{M1}\right)\,\mathrm{d}p. \]

A Clausius-Clapeyron egyenlet:

\[ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} = \frac{S_{M2}-S_{M1}}{V_{M2}-V_{M1}}. \]

Az átalakulás állandó \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőmérsékleten megy végbe, így az entrópiaváltozás egyszerűen kifejezhető a redukált hővel, a Clapeyron-egyenletet nyerjük:

\[ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} = \frac{L_M}{T\Delta V_M}. \]

Ezt változószétválasztás után \setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szerint kiintegrálva szilárd-folyadék fázisátmenetre, feltéve, hogy \setbox0\hbox{$ L_M^\text{olv}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\Delta V_M^\text{olv}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sem függ a hőmérséklettől:

\[ p = p_1+\frac{L_M^\text{olv}}{\Delta  V_M^\text{olv}}\ln \frac T{T_1}. \]

b) Ha \setbox0\hbox{$ T-T_1 \ll T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, alkalmazhatjuk \setbox0\hbox{$\ln \left(1+x\right)\approx x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% közelítést:

\[ p = p_1+\frac{L_M^\text{olv}}{\Delta V_M^\text{olv}}\ln \frac{T-T_1+T_1}{T_1}     = p_1+\frac{L_M^\text{olv}}{\Delta V_M^\text{olv}}\ln \left(1+\frac{T-T_1}{T_1}\right)     \approx p_1+\frac{L_M^\text{olv}}{\Delta V_M^\text{olv}}\frac{T-T_1}{T_1}. \]