„Transzport nanovezetékekben: Landauer-formula, vezetőképesség-kvantálás” változatai közötti eltérés
(→Kvantumvezeték ellenállása) |
(→Kvantumvezeték ellenállása) |
||
| 47. sor: | 47. sor: | ||
ahol a kettes szorzó a spin szerinti degenerációnak felel meg. Mivel a sebesség és az elektronsűrűség szorzatában az energiadiszperzió deriváltja kiesik, a kvantumvezeték vezetőképessége egyszerűen a vezetőképesség-kvantum egész számú többszörösének adódik. Érdemes megjegyezni, hogy a hosszirányú irányú transzlációinvariancia miatt az $x$ irányú impulzus megmarad, | ahol a kettes szorzó a spin szerinti degenerációnak felel meg. Mivel a sebesség és az elektronsűrűség szorzatában az energiadiszperzió deriváltja kiesik, a kvantumvezeték vezetőképessége egyszerűen a vezetőképesség-kvantum egész számú többszörösének adódik. Érdemes megjegyezni, hogy a hosszirányú irányú transzlációinvariancia miatt az $x$ irányú impulzus megmarad, | ||
így az egyes csatornák között nem történhet átszóródás, mert az a $k$ hullámszám megváltozásával járna, azaz a vezetési csatornákat valóban tekinthetjük egymástól függetlennek. | így az egyes csatornák között nem történhet átszóródás, mert az a $k$ hullámszám megváltozásával járna, azaz a vezetési csatornákat valóban tekinthetjük egymástól függetlennek. | ||
| + | |||
| + | A fenti számolásban abból indultunk ki, hogy csak az elektródák kémiai potenciálja alatt találunk betöltött állapotokat, azaz zérus hőmérsékletet tételezünk fel. Véges hőmérsékleten a kémiai potenciál $kT$ szélességű környezetében egyaránt találhatók betöltött és betöltetlen állapotok, az állapotok betöltöttségének valószínűségét a Fermi-függvény írja le: | ||
| + | $$ $$ | ||
| + | |||
| + | Egy vezetési csatornában folyó áram: | ||
| + | (Ideális elektrontartály!!!) | ||
| + | $$I^+=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k>0} v_k f_1(\epsilon_k) = 2e \int \frac{\mathrm{d}k}{2 \pi}\frac{\partial \epsilon_k}{\hbar \partial k} f_1(\epsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \epsilon f_1(\epsilon)$$ | ||
| + | $$I^-=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k<0} v_k f_2(\epsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \epsilon f_2(\epsilon)$$ | ||
| + | |||
| + | $$I=I^+-I^-=\frac{2 e}{h} \int \mathrm{d} \epsilon (f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon))=\frac{2 e}{h}e V, \;\; G_0=\frac{2 e^2}{h}$$ | ||
| + | |||
| + | A csatornák nem tudnak egymásba átszóródni, mert ez sértené az impulzusmegmaradást, így függetlennek tekinthetjük őket. | ||
| + | |||
| + | $$G=\frac{2 e^2}{h}M$$ | ||
| + | |||
<span id="abra2"> | <span id="abra2"> | ||
A lap 2013. április 28., 07:20-kori változata
Karakterisztikus méretskálák
Egy nanométeres skálájú objektum vezetési tulajdonságai több szempontból eltérnek a makroszkopikus skálán megszokott jelenségektől.
Makroszkopikus vezetékek ellenállása jól leírható az Ohm-törvénnyel: az áramsűrűség a fajlagos vezetőképesség és az elektromos tér szorzata, a vezetőképesség pedig arányos a vezeték keresztmetszettel és fordítottan arányos a hosszával:
![\[\vec{j}=\sigma \cdot \vec{E}, \ \ \ G=R^{-1}=\frac{A\cdot \sigma}{L}\]](/images/math/7/b/c/7bc09554c31016e9d495c03164518ac1.png)
Az Ohm törvény egyszerűen magyarázható az elektromos vezetés Drude modelljével. Az elektronok a kristályrácsban két ütközés közötti
karakterisztikus idő alatt 
impulzust nyernek, majd a véletlen irányba történő szóródás hatására ezt elveszítik. Ennek megfelelően 
elektronsűrűség esetén az az áramsűrűség illetve fajlagos vezetőképesség:
![\[\vec{j}=n\cdot e\cdot v_\mathrm{drift}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \sigma=\frac{ne^2\tau_m}{m}.\]](/images/math/f/a/b/fab95ca33435af25c18d27f16f26f4af.png)
Az elektronok két ütközés között eltelt momentumrelaxációs idő alatt 
utat tesznek meg, ahol 
a Fermi sebesség. A Drude modell értelmét veszti ha a vizsgált vezeték karakterisztikus mérete (
) kisebb mint az ütközések skáláját jellemző 
momentumrelaxációs szabadúthossz. Ezen feltétel alapján megkülönböztethetünk diffúzív vezetékeket (
), melyekben a elektronok sokszor szóródnak mialatt eljutnak az egyik elektródából a másikba, illetve ballisztikus nanovezetékeket (
), melyekben az elektronok csak a vezeték falán szóródnak, de a vezetéken belül nem.
ÁBRA
A két határeset között lényeges különbséf jól szemléltethető az ellenállás hosszfüggésével: míg egy diffúzív vezeték ellenállása nő a vezeték hosszának növelésével, addig a ?? ábrán szemléltetett ballisztikus vezetékbe bejutó elektronok visszaszórás nélkül átjutnak a túloldalra, azaz az ellenállás nem függ a vezeték hosszától.
Az elektronok hullámtermészetét figyelembe véve azt is érdemes megvizsgálni, hogy a vizsgált rendszer méretének skáláján megőrződik-e az elektronhullámok fázisinformációja. Ha a minta mérete kisebb mint az 
fázisrelaxációs hossz, akkor a vezetési tulajdonságok makroszkopikus skálán nem tapasztalható érdekes interferencia-jelenségeket mutatnak, melyeket a ?? fejezetben szemléltetünk.
További érdekes jelenségeket tapasztalhatunk, ha a vezeték keresztmetszete a az elektronok Fermi-hullámhosszával összemérhetővé válik, 
. Ezt a határesetet tárgyaljuk az alábbiakban.
Kvantumvezeték ellenállása
Az elektronok hullámhosszával összemérhető vezetékek tulajdonságait vizsgáljuk meg egy egyszerű modellel: két elektrontartályt kössünk össze egy kétdimenziós, párhuzamos falú ideális kvantumvezetékkel, melyben az elektronok szóródás nélkül haladnak (2. ábra).
Hard wall határfeltételt alkalmazva (azaz a bezáró potenciál a vezetéken belül ill. kívül zérus ill. végtelen) egyszerűen felírható az elektronok hullámfüggvénye:
![\[\Psi_{n,k}(x,y)=e^{ikx}\cdot \sin\left(\frac{n \pi y}{W} \right),\]](/images/math/c/b/b/cbb631029abef03f779de5d448cf7b17.png)
azaz hosszirányban (
) síkhullám terjedést, keresztirányban pedig kvantált állóhullámokat kapunk. Ennek megfelelően az elektronok energiája:
![\[\epsilon_n(k)=\frac{\hbar^2k^2}{2 m} + \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m W^2}\cdot n^2\]](/images/math/2/e/e/2eea1145eb1f05e5914cd5c4584a1028.png)
ahol 
az -irányú síkhullám terjedéshez tartozó hullámszám, pedig a kvantált keresztmódust (
-irányú állóhullámot) jellemzi. Az energiakifejezés a 3a ábrán szemléltetett, egymáshoz képest a keresztirányú energiák szerint eltolt egydimenziós diszperziós relációknak felel meg. Értelemszerűen csak azon módusokon (ún. vezetési csatornákon) keresztül folyhat áram, melyekhez tartozó tartozó keresztirányú energia kisebb az elektródák Fermi energiájánál, azaz a diszperziós reláció metszi a Fermi szintet. Ezen feltételnek megfelelő módusokat nyitott vezetési csatornának nevezzük, a nyitott csatornák számát 
-el jelöljük.
Diszperzós reláció
Diszperzós reláció a mintára feszültséget kapcsolva
Ha a két elektrontartály közé 
feszültséget kapcsolunk akkor a nanovezeték elektronállapotai a 3b ábrán szemléltetett módon töltődnek be: a pozitív -val rendelkező állapotok mind a bal oldali elektródából származnak, így ezek 
-vel magasabb energiáig vannak betöltve mint a jobb oldali elektródából származó, negatív -val rendelkező állapotok. Áramot csak a 
ás 
kémiai potenciál közötti tartományban levő pozitív -jú állapotok szállítanak, hiszen kémiai potenciál alatt a pozitív és negatív irányba haladó állapotok egyaránt betöltöttek, így eredő áramuk zérus lesz.
Egy adott vezetési csatornára az elektronok sebességét, illetve az energiasávban található elektronok sűrűségét
a következőképpen írhatjuk:
![\[v_n=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial \epsilon_n(k)}{\partial k},\ \ \ \ n_n=\frac{eV}{2\pi}\left(\frac{\partial \epsilon_n(k)}{\partial k}\right)^{-1}.\]](/images/math/f/0/e/f0ee30d968d8fa736cddad6bfbccd5a8.png)
A vezetékben folyó áram számolásához az elektrontöltés, a sebesség és az elektronsűrűség szorzatát kell képezni, illetve ezt összegezni a különböző vezetési csatornákra:
![\[I=2\sum_{n=1}^{M}e v_n n_n =\frac{2e^2}{h}MV,\]](/images/math/6/1/c/61ce1c2052a80ff9f33efa0b2b800ba5.png)
ahol a kettes szorzó a spin szerinti degenerációnak felel meg. Mivel a sebesség és az elektronsűrűség szorzatában az energiadiszperzió deriváltja kiesik, a kvantumvezeték vezetőképessége egyszerűen a vezetőképesség-kvantum egész számú többszörösének adódik. Érdemes megjegyezni, hogy a hosszirányú irányú transzlációinvariancia miatt az irányú impulzus megmarad,
így az egyes csatornák között nem történhet átszóródás, mert az a hullámszám megváltozásával járna, azaz a vezetési csatornákat valóban tekinthetjük egymástól függetlennek.
A fenti számolásban abból indultunk ki, hogy csak az elektródák kémiai potenciálja alatt találunk betöltött állapotokat, azaz zérus hőmérsékletet tételezünk fel. Véges hőmérsékleten a kémiai potenciál 
szélességű környezetében egyaránt találhatók betöltött és betöltetlen állapotok, az állapotok betöltöttségének valószínűségét a Fermi-függvény írja le:
![\[ \]](/images/math/a/d/3/ad3fc2e46b0236ed941586854f1adef5.png)
Egy vezetési csatornában folyó áram: (Ideális elektrontartály!!!)
![\[I^+=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k>0} v_k f_1(\epsilon_k) = 2e \int \frac{\mathrm{d}k}{2 \pi}\frac{\partial \epsilon_k}{\hbar \partial k} f_1(\epsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \epsilon f_1(\epsilon)\]](/images/math/a/4/9/a497c44ad3125b4c10a00aaeab36791d.png)
![\[I^-=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k<0} v_k f_2(\epsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \epsilon f_2(\epsilon)\]](/images/math/b/8/7/b87d522cfc4351134078079e018a0ea1.png)
![\[I=I^+-I^-=\frac{2 e}{h} \int \mathrm{d} \epsilon (f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon))=\frac{2 e}{h}e V, \;\; G_0=\frac{2 e^2}{h}\]](/images/math/b/7/0/b70d7a4211cfca891b2d400f32e41ca2.png)
A csatornák nem tudnak egymásba átszóródni, mert ez sértené az impulzusmegmaradást, így függetlennek tekinthetjük őket.
![\[G=\frac{2 e^2}{h}M\]](/images/math/f/6/7/f67d1475647b7726064d42411b5fd018.png)
Egy atomi méretű kontaktust modellezhetünk úgy, mint két ideális kvantumvezetéket, melyeket egy szórási tartomány köt össze. A bal oldali -edik vezetési csatornából a jobb oldali 
-edik csatornába való átjutáshoz hozzárendelhetünk egy 
transzmissziós valószínűséget. A rendszer vezetőképességét ezen valószínűségekből a Landauer formula segítségével számolhatjuk:
\begin{equation}
G=\frac{2e^2}{h}\sum_{n,m=1}^{M}T_{nm}.
\end{equation}
Megfelelő bázisba való áttéréssel elérhetjük, hogy a bal oldali -edik módus csak a jobb oldali -edik módusba tudjon szóródni. Ebben a \emph{sajátbázisban} a rendszer darab egymástól független egycsatornás vezetéknek tekinthető. Minden csatornához hozzárendelhetünk egy 
\emph{transzmissziós sajátértéket}, melyekkel a vezetőképesség
\begin{equation}
G=\frac{2e^2}{h}\sum_{n=1}^{M}\tau_{n}
\end{equation}
alakban írható.
Ezen transzmissziós sajátértékek halmaza jól jellemzi a kontaktus vezetési tulajdonságait, így a értékek halmazát gyakran ``mezoszkópikus PIN-kódnak is nevezik \cite{agrait03}.
Egy vezetési csatornában folyó áram: (Ideális elektrontartály!!!)
A csatornák nem tudnak egymásba átszóródni, mert ez sértené az impulzusmegmaradást, így függetlennek tekinthetjük őket.
Landauer formula
Egycsatornás vezeték egy szórócentrummal
![\[\mathrm{d}I_1^+(\epsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_1(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon,\;\; \mathrm{d}I_2^-(\epsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_2(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon\]](/images/math/3/6/0/360b61e98226c02a1e1a16361bc58a21.png)
![\[\mathrm{d}I_1^-(\epsilon)=\mathrm{d}I_1^+(\epsilon)\cdot (1-T) + \mathrm{d}I_2^-(\epsilon)\cdot T,\;\; \mathrm{d}I_1=\mathrm{d}I_1^+ - \mathrm{d}I_1^- = \frac{2 e}{h} \cdot T \cdot [f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon)]\mathrm{d}\epsilon\]](/images/math/8/d/2/8d224e5a7b9878f0ddc04fc422fcf077.png)
![\[I=\int \mathrm{d}I_1(\epsilon) = \frac{2 e}{h} \cdot \int T\cdot [f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon)]\mathrm{d}\epsilon = \frac{2 e}{h}\cdot eV \cdot T\]](/images/math/4/f/f/4ff1f321fb16436b7433ccce4d6866c1.png)
![\[G=\frac{2 e^2}{h}\cdot T\]](/images/math/d/0/5/d052002c8c3377f0262ad9bdf8595b64.png)
Két ideális kvantumvezeték kvantált keresztmódusokkal, köztük egy 
transzmissziós mátrix-szal leírható keskeny csatorna:
![\[|out \rangle_R = \hat{t} |in \rangle_L\]](/images/math/b/4/f/b4f6cb71c7ccbe78c04f1f1a03e2a1d5.png)
A vezetőképességet a Landauer formula adja meg:
![\[G = \frac{2 e^2}{h} \mathrm{Tr}(\hat{t}^\dagger \hat{t}) = \frac{2 e^2}{h} \sum \limits_{i=1..N} T_i\]](/images/math/e/e/7/ee72cf7c8a308ecb13d30d9a9a07c008.png)
- Megfelelő sajátbázisban a vezetőképesség transzmissziós sajátértékek összege, ún. „mezoszkópikus PIN kód”.
Az elektronok részecsketermészete 
"sörét" zaj
- Áram mérésekor vagy teljesen transzmittált, vagy teljesen reflektált elektront detektálunk, "fél" elektront soha.
- Időegység alatt transzmittált elektronok számának várható értéke:
![\[\langle N \rangle \sim G \sim T\]](/images/math/c/0/2/c02d8f3c3fedcbd4abe992ae84d2f314.png)
de 
vagy 
kivételével véges szórást is tapasztalunk:
![\[\langle(N-\langle N \rangle)^2\rangle \sim T\cdot(1-T)\]](/images/math/3/d/b/3db6d0bbfe5c8a790206ab3cde4574c2.png)
Vezetőképesség kvantálás kvantum pont-kontaktusban
Kvantum pont-kontaktus: két elektródát egy keskeny, hullámhosszal összemérhető szélességű csatorna köt össze, melynek a szélességét középen egy kapuelektródára tett feszültséggel változtathatjuk.
- A kontaktus közepe felé haladva ez elektron keresztirányú energiája nő, hosszirányú kinetikus energiája pedig csökken.
- Adiabatikusan változó csatornaszélességnél a csatornák nem tudnak egymásba szóródni, függetlennek tekinthetők.
- A kontaktus közepénél a legtöbb csatorna keresztirányú energiája nagyobb mint a Fermi energia, ezek a módusok visszaverődnek a kontaktusról.
- A kontaktus közepén is nyitott csatornák T=1 valószínűséggel átjutnak, hiszen a visszaverődés jelentős impulzusváltozással járna.
Nyitott csatornák száma a kontaktus közepén:
![\[G=\frac{2 e^2}{h}N_c\]](/images/math/c/0/9/c097a47ee67bd5df52de92a9c84d8949.png)
Vezetőképesség kvantálás!
