„Transzport nanovezetékekben: Landauer-formula, vezetőképesség-kvantálás” változatai közötti eltérés
(→Landauer formula) |
(→Landauer formula) |
||
| 98. sor: | 98. sor: | ||
<span id="abra2"> | <span id="abra2"> | ||
| − | [[Fájl:PointContact. | + | [[Fájl:PointContact.svg|közép|300px|Pontkontaktus]] |
</span> | </span> | ||
A lap 2013. április 28., 16:57-kori változata
Tartalomjegyzék |
Karakterisztikus méretskálák
Egy nanométeres skálájú objektum vezetési tulajdonságai több szempontból eltérnek a makroszkopikus skálán megszokott jelenségektől.
Makroszkopikus vezetékek ellenállása jól leírható az Ohm-törvénnyel: az áramsűrűség a fajlagos vezetőképesség és az elektromos tér szorzata, a vezetőképesség pedig arányos a vezeték keresztmetszettel és fordítottan arányos a hosszával:
![\[\vec{j}=\sigma \cdot \vec{E}, \ \ \ G=R^{-1}=\frac{A\cdot \sigma}{L}\]](/images/math/7/b/c/7bc09554c31016e9d495c03164518ac1.png)
Az Ohm törvény egyszerűen magyarázható az elektromos vezetés Drude modelljével. Az elektronok a kristályrácsban két ütközés közötti
karakterisztikus idő alatt 
impulzust nyernek, majd a véletlen irányba történő szóródás hatására ezt elveszítik. Ennek megfelelően 
elektronsűrűség esetén az az áramsűrűség illetve fajlagos vezetőképesség:
![\[\vec{j}=n\cdot e\cdot v_\mathrm{drift}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \sigma=\frac{ne^2\tau_m}{m}.\]](/images/math/f/a/b/fab95ca33435af25c18d27f16f26f4af.png)
Az elektronok két ütközés között eltelt momentumrelaxációs idő alatt 
utat tesznek meg, ahol 
a Fermi sebesség. A Drude modell értelmét veszti ha a vizsgált vezeték karakterisztikus mérete (
) kisebb mint az ütközések skáláját jellemző 
momentumrelaxációs szabadúthossz. Ezen feltétel alapján megkülönböztethetünk diffúzív vezetékeket (
), melyekben a elektronok sokszor szóródnak mialatt eljutnak az egyik elektródából a másikba, illetve ballisztikus nanovezetékeket (
), melyekben az elektronok csak a vezeték falán szóródnak, de a vezetéken belül nem.
 |
 |
| 1a. ábra - Diffúzív vezeték | 1b. ábra - Ballisztikus vezeték |
A két határeset között lényeges különbséf jól szemléltethető az ellenállás hosszfüggésével: míg egy diffúzív vezeték ellenállása nő a vezeték hosszának növelésével, addig a ?? ábrán szemléltetett ballisztikus vezetékbe bejutó elektronok visszaszórás nélkül átjutnak a túloldalra, azaz az ellenállás nem függ a vezeték hosszától.
Az elektronok hullámtermészetét figyelembe véve azt is érdemes megvizsgálni, hogy a vizsgált rendszer méretének skáláján megőrződik-e az elektronhullámok fázisinformációja. Ha a minta mérete kisebb mint az 
fázisrelaxációs hossz, akkor a vezetési tulajdonságok makroszkopikus skálán nem tapasztalható érdekes interferencia-jelenségeket mutatnak, melyeket a ?? fejezetben szemléltetünk.
További érdekes jelenségeket tapasztalhatunk, ha a vezeték keresztmetszete a az elektronok Fermi-hullámhosszával összemérhetővé válik, 
. Ezt a határesetet tárgyaljuk az alábbiakban.
Kvantumvezeték ellenállása
Az elektronok hullámhosszával összemérhető vezetékek tulajdonságait vizsgáljuk meg egy egyszerű modellel: két elektrontartályt kössünk össze egy kétdimenziós, párhuzamos falú ideális kvantumvezetékkel, melyben az elektronok szóródás nélkül haladnak (2. ábra).
Hard wall határfeltételt alkalmazva (azaz a bezáró potenciál a vezetéken belül ill. kívül zérus ill. végtelen) egyszerűen felírható az elektronok hullámfüggvénye:
![\[\Psi_{n,k}(x,y)=e^{ikx}\cdot \sin\left(\frac{n \pi y}{W} \right),\]](/images/math/c/b/b/cbb631029abef03f779de5d448cf7b17.png)
azaz hosszirányban (
) síkhullám terjedést, keresztirányban pedig kvantált állóhullámokat kapunk. Ennek megfelelően az elektronok energiája:
![\[\epsilon_n(k)=\frac{\hbar^2k^2}{2 m} + \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m W^2}\cdot n^2\]](/images/math/2/e/e/2eea1145eb1f05e5914cd5c4584a1028.png)
ahol 
az -irányú síkhullám terjedéshez tartozó hullámszám, pedig a kvantált keresztmódust (
-irányú állóhullámot) jellemzi. Az energiakifejezés a 3a ábrán szemléltetett, egymáshoz képest a keresztirányú energiák szerint eltolt egydimenziós diszperziós relációknak felel meg. Értelemszerűen csak azon módusokon (ún. vezetési csatornákon) keresztül folyhat áram, melyekhez tartozó tartozó keresztirányú energia kisebb az elektródák Fermi energiájánál, azaz a diszperziós reláció metszi a Fermi szintet. Ezen feltételnek megfelelő módusokat nyitott vezetési csatornának nevezzük, a nyitott csatornák számát 
-el jelöljük.
 |
 |
| 3a. ábra - Diszperzós reláció | 3b. ábra - Diszperzós reláció a mintára feszültséget kapcsolva |
Ha a két elektrontartály közé 
feszültséget kapcsolunk akkor a nanovezeték elektronállapotai a 3b ábrán szemléltetett módon töltődnek be: a pozitív -val rendelkező állapotok mind a bal oldali elektródából származnak, így ezek 
-vel magasabb energiáig vannak betöltve mint a jobb oldali elektródából származó, negatív -val rendelkező állapotok. Áramot csak a 
ás 
kémiai potenciál közötti tartományban levő pozitív -jú állapotok szállítanak, hiszen kémiai potenciál alatt a pozitív és negatív irányba haladó állapotok egyaránt betöltöttek, így eredő áramuk zérus lesz.
Egy adott vezetési csatornára az elektronok sebességét, illetve az energiasávban található elektronok sűrűségét
a következőképpen írhatjuk:
![\[v_n=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial \epsilon_n(k)}{\partial k},\ \ \ \ n_n=\frac{eV}{2\pi}\left(\frac{\partial \epsilon_n(k)}{\partial k}\right)^{-1}.\]](/images/math/f/0/e/f0ee30d968d8fa736cddad6bfbccd5a8.png)
A vezetékben folyó áram számolásához az elektrontöltés, a sebesség és az elektronsűrűség szorzatát kell képezni, illetve ezt összegezni a különböző vezetési csatornákra:
![\[I=2\sum_{n=1}^{M}e v_n n_n =\frac{2e^2}{h}MV,\]](/images/math/6/1/c/61ce1c2052a80ff9f33efa0b2b800ba5.png)
ahol a kettes szorzó a spin szerinti degenerációnak felel meg. Mivel a sebesség és az elektronsűrűség szorzatában az energiadiszperzió deriváltja kiesik, a kvantumvezeték vezetőképessége egyszerűen a vezetőképesség-kvantum egész számú többszörösének adódik. Érdemes megjegyezni, hogy a hosszirányú irányú transzlációinvariancia miatt az irányú impulzus megmarad,
így az egyes csatornák között nem történhet átszóródás, mert az a hullámszám megváltozásával járna, azaz a vezetési csatornák áramjárulékát valóban tekinthetjük egymástól függetlennek.
A fenti számolásban abból indultunk ki, hogy csak az elektródák kémiai potenciálja alatt találunk betöltött állapotokat, azaz zérus hőmérsékletet tételezünk fel. Véges hőmérsékleten a kémiai potenciál 
szélességű környezetében egyaránt találhatók betöltött és betöltetlen állapotok, az állapotok betöltöttségének valószínűségét a Fermi-függvény írja le:
![\[f(\epsilon)=\frac{1}{e^{\frac{\epsilon -\mu}{kT}}+1}.\]](/images/math/0/d/5/0d5b0dcd22dcd721d4fddc49874b9617.png)
Az kvantumvezeték belsejében a 
, bal oldali elektródából származó elektronállapotok betöltöttségét az 1-es elektróda 
betöltési szám függvénye írja le, míg a 
állapotok a 2-es elektróda 
betöltési szám függvényével jellemezhető, ahol 
és 
egymáshoz képest energiával eltolt Fermi függvények. Ez a leírás egyben az elektrontartályok tökéletességét is feltételezi, azaz a kvantumvezetékből az egyik elektródába érkező elektronok csak termalizálódás után szóródhatnak vissza a kvantumvezetékbe, így az elektródát elhagyó elektronok valóban az elektróda Fermi-függvénye szerinti energiaeloszlást követik.
A fentiek alapján véges hőmérsékleten a vezetékben pozitív illetve negatív irányba folyó áramot a
![\[I^+=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k>0} v_k f_1(\epsilon_k) = 2e \int \frac{\mathrm{d}k}{2 \pi}\frac{\partial \epsilon_k}{\hbar \partial k} f_1(\epsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \epsilon f_1(\epsilon)\]](/images/math/a/4/9/a497c44ad3125b4c10a00aaeab36791d.png)
![\[I^-=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k<0} v_k f_2(\epsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \epsilon f_2(\epsilon)\]](/images/math/b/8/7/b87d522cfc4351134078079e018a0ea1.png)
képletek írják le, azaz az eredő áram:
![\[I=I^+-I^-=\frac{2 e}{h} \int \mathrm{d} \epsilon (f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon))=\frac{2 e}{h}e V.\]](/images/math/2/2/2/222fc2bad7e610e864ce36bd3692f904.png)
Mivel 
integrál tetszóleg hőmérsékleten -vel egyenlő, így egy egycsatornás ideális kvantumvezeték ellenállása tetszőleges hőmérsékleten a 
vezetőképesség-kvantum.
Landauer formula
Most tekintsük azt az egyszerű modellt, amikor egy egycsatornás, ideális kvantumvezeték közepén egy szórócentrum található, melyen 
valószínűséggel jutnak át az elektronok. Ebben az esetben már nem mondható hogy hogy a pozitív (negatív) -val rendelkező állapotok mind a bal (jobb) oldali elektródából származnak, hiszen például a szórócentrumtól balra levő kvantumvezetékbe állapot egyaránt lehet a 2-es elektródából induló és a szórócentrumon átjutó vagy az 1-es elektródából induló és a szórócentrumon visszaverődő állapot.
Zérus hőmérsékleten csak a kémiai potenciál alatti állapotok származhatnak mindkét elektródából, azonban az 
állapotok teljes árama értelemszerűen zérust ad, hiszen ez annak felel meg, mintha zérus feszültséget kapcsoltunk volna a rendszerre. Így a véges áramért továbbra is 
állapotok felelnek, melyek csak az 1-es elektródából származhatnak.
![\[\mathrm{d}I_1^+(\epsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_1(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon,\;\; \mathrm{d}I_2^-(\epsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_2(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon\]](/images/math/3/6/0/360b61e98226c02a1e1a16361bc58a21.png)
![\[\mathrm{d}I_1^-(\epsilon)=\mathrm{d}I_1^+(\epsilon)\cdot (1-T) + \mathrm{d}I_2^-(\epsilon)\cdot T,\;\; \mathrm{d}I_1=\mathrm{d}I_1^+ - \mathrm{d}I_1^- = \frac{2 e}{h} \cdot T \cdot [f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon)]\mathrm{d}\epsilon\]](/images/math/8/d/2/8d224e5a7b9878f0ddc04fc422fcf077.png)
![\[I=\int \mathrm{d}I_1(\epsilon) = \frac{2 e}{h} \cdot \int T\cdot [f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon)]\mathrm{d}\epsilon = \frac{2 e}{h}\cdot eV \cdot T\]](/images/math/4/f/f/4ff1f321fb16436b7433ccce4d6866c1.png)
![\[G=\frac{2 e^2}{h}\cdot T\]](/images/math/d/0/5/d052002c8c3377f0262ad9bdf8595b64.png)
A csatornák nem tudnak egymásba átszóródni, mert ez sértené az impulzusmegmaradást, így függetlennek tekinthetjük őket.
![\[G=\frac{2 e^2}{h}M\]](/images/math/f/6/7/f67d1475647b7726064d42411b5fd018.png)
Egy atomi méretű kontaktust modellezhetünk úgy, mint két ideális kvantumvezetéket, melyeket egy szórási tartomány köt össze. A bal oldali -edik vezetési csatornából a jobb oldali 
-edik csatornába való átjutáshoz hozzárendelhetünk egy 
transzmissziós valószínűséget. A rendszer vezetőképességét ezen valószínűségekből a Landauer formula segítségével számolhatjuk:
\begin{equation}
G=\frac{2e^2}{h}\sum_{n,m=1}^{M}T_{nm}.
\end{equation}
Megfelelő bázisba való áttéréssel elérhetjük, hogy a bal oldali -edik módus csak a jobb oldali -edik módusba tudjon szóródni. Ebben a \emph{sajátbázisban} a rendszer darab egymástól független egycsatornás vezetéknek tekinthető. Minden csatornához hozzárendelhetünk egy 
\emph{transzmissziós sajátértéket}, melyekkel a vezetőképesség
\begin{equation}
G=\frac{2e^2}{h}\sum_{n=1}^{M}\tau_{n}
\end{equation}
alakban írható.
Ezen transzmissziós sajátértékek halmaza jól jellemzi a kontaktus vezetési tulajdonságait, így a értékek halmazát gyakran ``mezoszkópikus PIN-kódnak is nevezik \cite{agrait03}.
Egy vezetési csatornában folyó áram: (Ideális elektrontartály!!!)
![\[I=I^+-I^-=\frac{2 e}{h} \int \mathrm{d} \epsilon (f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon))=\frac{2 e}{h}e V, \;\; G_0=\frac{2 e^2}{h}\]](/images/math/b/7/0/b70d7a4211cfca891b2d400f32e41ca2.png)
A csatornák nem tudnak egymásba átszóródni, mert ez sértené az impulzusmegmaradást, így függetlennek tekinthetjük őket.
Két ideális kvantumvezeték kvantált keresztmódusokkal, köztük egy 
transzmissziós mátrix-szal leírható keskeny csatorna:
![\[|out \rangle_R = \hat{t} |in \rangle_L\]](/images/math/b/4/f/b4f6cb71c7ccbe78c04f1f1a03e2a1d5.png)
A vezetőképességet a Landauer formula adja meg:
![\[G = \frac{2 e^2}{h} \mathrm{Tr}(\hat{t}^\dagger \hat{t}) = \frac{2 e^2}{h} \sum \limits_{i=1..N} T_i\]](/images/math/e/e/7/ee72cf7c8a308ecb13d30d9a9a07c008.png)
- Megfelelő sajátbázisban a vezetőképesség transzmissziós sajátértékek összege, ún. „mezoszkópikus PIN kód”.
Az elektronok részecsketermészete 
"sörét" zaj
- Áram mérésekor vagy teljesen transzmittált, vagy teljesen reflektált elektront detektálunk, "fél" elektront soha.
- Időegység alatt transzmittált elektronok számának várható értéke:
![\[\langle N \rangle \sim G \sim T\]](/images/math/c/0/2/c02d8f3c3fedcbd4abe992ae84d2f314.png)
de 
vagy 
kivételével véges szórást is tapasztalunk:
![\[\langle(N-\langle N \rangle)^2\rangle \sim T\cdot(1-T)\]](/images/math/3/d/b/3db6d0bbfe5c8a790206ab3cde4574c2.png)
Vezetőképesség kvantálás kvantum pont-kontaktusban
Kvantum pont-kontaktus: két elektródát egy keskeny, hullámhosszal összemérhető szélességű csatorna köt össze, melynek a szélességét középen egy kapuelektródára tett feszültséggel változtathatjuk.
- A kontaktus közepe felé haladva ez elektron keresztirányú energiája nő, hosszirányú kinetikus energiája pedig csökken.
- Adiabatikusan változó csatornaszélességnél a csatornák nem tudnak egymásba szóródni, függetlennek tekinthetők.
- A kontaktus közepénél a legtöbb csatorna keresztirányú energiája nagyobb mint a Fermi energia, ezek a módusok visszaverődnek a kontaktusról.
- A kontaktus közepén is nyitott csatornák T=1 valószínűséggel átjutnak, hiszen a visszaverődés jelentős impulzusváltozással járna.
Nyitott csatornák száma a kontaktus közepén:
![\[G=\frac{2 e^2}{h}N_c\]](/images/math/c/0/9/c097a47ee67bd5df52de92a9c84d8949.png)
Vezetőképesség kvantálás!
