3. Mérés: RC-körök vizsgálata

Elméleti összefoglaló

Időben harmonikusan változó jel

Lineáris áramkörök és harmonikusan változó áram és feszültség jelek részletes tárgyalását lásd a Kisérleti Fizika 1 kurzus rezgésekről szóló fejezetében [1]. A fontosabb mennyiségeket és összefüggéseket alább összefoglaljuk. Az ábrán egy $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ periodus idővel változó, $\setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=1/$\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciájú feszültség jel látható. Ha a jel amplitúdója $\setbox0\hbox{$U_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és fázisa $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, az időfüggést az alábbi alakban adhatjuk meg: $\[ U(t)=U_0cos(2\pi ft+\varphi).\]$ Hasznos még bevezetni a körfrekvenciát $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=2$\setbox0\hbox{$\pi f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az időbeli változást leíró differenciál egyenletek könnyebb kezeléséhez érdemes bevezetni az alábbi komplex változót, melynek valós része adja a mérhető jelet: $\[ U(t)=U_0e^{i(\omega t+\varphi)}=U_0e^{i\varphi} e^{i\omega t}.\]$ A harmonikusan változó feszültség a komplex síkon egy $\setbox0\hbox{$U_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú kört ír le. A komplex számot reprezentáló vektor fázisszöge $\setbox0\hbox{$\omega t+\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állandó szögsebességgel fordul körbe.

Általános időben harmonikusan változó feszültség

Lineáris áramköri elemek

Lineáris áramköri elemek esetén az áthajtott áramot és az elemen eső feszültséget vagy azok deriváltjait lineáris összefüggés kapcsolja össze. Legegyszerűbb ilyen elem az ohmikus ellenállás: $\[ U=RI \]$ Az ellenálláson áthaladó áramot az alábbi komplex alakban adhatjuk meg $\[ I=I_0e^{i\omega t}, \]$ melyből kiszámíthatjuk a rajta eső feszültsége: $\[ Ue^{i\omega t}=RI_0e^{i\omega t}. \]$ Tehát az áram és a feszültség fázisa azonos az amplitúdokat pedig a $\setbox0\hbox{$U_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=$\setbox0\hbox{$RI_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggéssel számolhatjuk ki.

Áram és feszültség jelek fázis viszonyai ohmikus ellenállás esetén.

Egy $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ induktivitással jellemezhető tekercs esetén a tekercs kapocsain mérhető feszültséget az alábbi képlet adja meg: $\[ U=L\frac{dI}{dt}. \]$ Az időben harmonikusan változó áramot ismét komplex alakban adjuk meg $\[ I=I_0e^{i\omega t}, \]$ melyből a tekercs kapcsain mérhető feszültség: $\[ Ue^{i\omega t}=i\omega LI_0e^{i\omega t}. \]$ Tehát a feszültség fázisa $\setbox0\hbox{$\frac{\pi}{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel eltolódik az áramhoz képest, az amplitúdokat pedig a $\setbox0\hbox{$U_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=$\setbox0\hbox{$\omega LI_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggéssel számolhatjuk ki. Érdemes bevezetni az ellenálláshoz hasonló fogalmat, az impedanciát. Ez a komplex mennyiség lineáris áramkörökben megadja a feszülség és az áram komplex arányát. Induktivitás esetén $\setbox0\hbox{$Z_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=$\setbox0\hbox{$i\omega L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Áram és feszültség jelek fázis viszonyai tekercs esetén.

A $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kapacitással jellemezhető kondenzátor esetén ismert, hogy $\[ Q=CU. \]$ Ezt az összefüggést deriválva és átrendezve a korábbiakhoz hasonló alakú kifejezést kapunk: $\[ \frac{dU}{dt}=\frac{1}{C}I, \]$ hiszen a kondenzátor eltolási árama a töltésváltozással egyenlő. A komplex feszültség-áram összefüggés az alábbi alakot ölti: $\[ Ue^{i\omega t}=\frac{1}{i\omega C}I_0e^{i\omega t}. \]$ Tehát a feszültség fázisa -$\setbox0\hbox{$\frac{\pi}{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel eltolódik az áramhoz képest, az amplitúdokat pedig a $\setbox0\hbox{$U_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=$\setbox0\hbox{$\frac{I_0}{\omega C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggéssel számolhatjuk ki. A kondenzátorhoz tartozó impedancia $\setbox0\hbox{$Z_C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=$\setbox0\hbox{$\frac{1}{i\omega C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Áram és feszültség jelek fázis viszonyai kondenzátor esetén.

Soros RC kör

Az ábrán látható soros RC körrel vizsgálhatjuk egy $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kapacitású kondenzátor feltöltődését és kisülését. Ha hosszú időn keresztül véges $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feszültséget kapcsolunk a körre a kondenzátor feltöltődik. Ezt követően, t=0 időpillanatban a kapcsolót átkapcsolva rövidre zárjuk az áramkört, azaz a bemeneti pontok azonos feszültségre kerülnek: $\[ U_R+U_C=0. \]$ Ekkor a kondenzátor fegyverzetein tárolt töltések átáramlanak az ellentétes fegyverzetre, hogy az új egyensúly elérését követően nulla feszültség essen a bemeneten (és a kondenzátoron is). Ezt az áramot például a fenti egyenlet deriválásával számíthatjuk ki: $\[ \frac{dU_R}{dt}+\frac{dU_C}{dt}=R\frac{dI}{dt}+\frac{I}{C}=0. \]$ Tehát az áramkörben folyó időfüggő áram az alábbi differenciálegyenletet elégíti ki: $\[ \frac{dI}{dt}=-\frac{I}{RC}. \]$ Az $\setbox0\hbox{$RC$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szorzat láthatóan idő dimenziójú, érdemes bevezetni a $\setbox0\hbox{$\tau$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=$\setbox0\hbox{$RC$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időállandót. Az exponenciális függvény kielégíti a fenti egyenletet, hiszen deriváltja szintén exponenciális: $\[ I=I_0e^{-t/\tau}, \]$ ahol $\setbox0\hbox{$I_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ később meghatározandó állandó. (Ellenőrizzük, hogy ez a függvény valóban megoldása a fenti differenciálegyenletnek!) Az integrálási állandó meghatározásához használjuk fel, hogy t=0 idő pillanatban ismert $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feszültségre volt feltöltve a kondenzátor, tehát az $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=$\setbox0\hbox{$CU$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltést tárolt. A kapcsoló átfordítása után átfolyó töltésmennyiségnek egyenlőnek kell lennie a tárolt töltéssel: $\[ Q=\int_0^\infty I_0e^{-t/\tau}dt= -I_0\tau e^{-\infty/\tau}+I_0\tau e^{0/\tau}=I_0\tau. \]$

Soros RC kör kisülése

Megvizsgálhatjuk a soros RC kör harmonikus meghajtásra adott válaszát is. Például a meghajtó $\setbox0\hbox{$U_{be}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feszültség $\setbox0\hbox{$U_{ki}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=$\setbox0\hbox{$U_C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kondenzátor feszültségre gyakorolt hatását. Az eszközökön eső feszültség a meghajtó feszültséggel lesz egyenlő: $\[ U_R+U_C=U_{be}. \]$ Az impedanciáról tanultakat felhasználva $\[ U_{be}=RI+Z_CI, \]$ $\[ U_{ki}=Z_CI=\frac{Z_C}{R+Z_C}U_{be}=\frac{1}{i\omega RC+1}U_{be}=\frac{1}{i\omega\tau+1}U_{be}. \]$

Soros RC kör

Az amplitúdók arányát és a fáziskülönbséget az alábbi arány számításával határozhatjuk meg: $\[ \frac{U_{ki}}{U_{be}}=\frac{\vert U_{ki}\vert}{\vert U_{be}\vert} e^{\varphi_{ki}-\varphi_{be}}. \]$ Az amplitúdóarányt az alábbi Lorentz görbe adja meg: $\[ \frac{\vert U_{ki}\vert^2}{\vert U_{be}\vert^2}=\frac{1}{1+(\omega\tau)^2}. \]$ Tehát 1/$\setbox0\hbox{$\tau$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ körfrekvencia alatt a feszültség nagyrészt a kapacitáson esik, míg nagyobb frekvenciákon az impedanciája és a rajta eső feszültség is lecsökken. A fáziskülönbséghez a komplex szám fázisát kell meghatározni: $\[ \frac{U_{ki}}{U_{be}}=\frac{1-i\omega\tau}{1+(\omega\tau)^2}. \]$ A fázisszöget a képzetes és valós rész hányadosa adja meg: $\[ tg(\varphi)=-\omega\tau. \]$

Amplitúdóarány és fáziskülönbség frekvencia függése soros RC körben.

Mérési feladatok

1. Feladat A próbapanelen állítsuk össze az alábbi kapcsolást. Az R ellenállás legyen 10 k$\setbox0\hbox{$\Omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a C kapacitás pedig az ismeretlen, barna áramköri elem. U$\setbox0\hbox{$_{be}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ bemenetre csatlakoztassuk a myDAQ mérőkártya AO 0 illetve AGND (referencia pont) kimenetét, és a függvénygenerátor segítségével kapcsoljunk a bemenetre f=1 kHz frekvenciájú, V$\setbox0\hbox{$_{pp}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=1 V-os szinusz jelet. A bemeneti és a kondenzátoron eső U$\setbox0\hbox{$_{ki}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kimeneti feszültséget kapcsoljuk a mérőkártya AI 0+, AI 0- és AI 1+, AI 1- csatlakozói közé. Az oszcilloszkóp mindkét csatornáját kapcsoljuk be, majd állítsuk be a feszültségerősítést, időosztást valamint a triggert.

Rögzítsük mindkét csatornán a feszültség időfüggését, majd az oszcilloszkóp program STOP gombjának megnyomása után, a LOG gomb segítségével mentsük el a mért jelalakokat. A MATLAB segítségével olvassuk be a jeleket. Az ASCII file-ból olvassuk le az időtengely lépésközét. (Figyelem, az oszcilloszkóp időalapjának változtatásával változik a skálázás is!) Illesszünk szinusz görbét, és az illesztésből határozzuk meg a két jel amplitúdójának arányát, illetve a fázisuk különbséget. Számítsuk ki az ismeretlen C kapacitást és becsüljük meg a mérés hibáját. Végezzük el a fenti mérést 100 Hz-en, 330 Hz-en, 3.3 kHz-en és 10 kHz-en is. A mért amplitúdó arányokat és fáziskülönbségeket a frekvencia logaritmusának függvényében ábrázoljuk. Miért nevezik ezt a kapcsolást aluláteresztő szűrőnek?

2. Feladat Vizsgáljuk tovább a fenti áramkört! A bemeneti pontokra f=100 Hz frekvenciájú négyszögjelet kapcsoljunk. Az oszcilloszkóp beállítása után, mentsük el a kimeneti jelet. A kisülési görbékre exponenciális függvényt illesztve határozzuk meg az időállandót, majd számítsuk ki a C kapacitás értékét ezzel a módszerrel is.