Elektrosztatika példák - Dielektriumba helyezett fémgömb potenciáltere forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Elektrosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Elektrosztatika - Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Egy $R_1$ sugarú, egyenletesen töltött. fémgömböt, egy $d$ vastag $\epsilon_r$ permittivitásű szigetelővel veszünk körbe. Hogyan függ a potenciál a centrumtól mért távolságtól?
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A szuperpozíció elve miatt a gömb teljes potenciálja összege két félgömb potenciáljának}}{{Végeredmény|content=Vagyis ha $R_2<r$ akkor $$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r\cdot\epsilon_0\cdot}$$ Ha $R_1<r<R_2$ akkor $$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_2}\right)$$ A gömb belsejében pedig konstans ptenciál van, amelynek értéke: $$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right) $$}}
</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>
Legyen a külső gömb sugara $R_2 = R_1+d$, töltése pedig $Q$. Írjuk fel a Gauss-tételt, egy $r$ sugarú gömbre, amely koncentrikus $R_1$-el és $R_2$-vel.
$$\iint\vec{D}\cdot{dA} = Q$$
Ha $r<R_1$ akkor $\vec{D} = 0$ és $\vec{E} = 0$ hiszen az integrálási tartományon belül nem található töltés.
Ha  $r>R_1$, akkor 
$$D\cdot 4\cdot\pi\cdot r = Q \Rightarrow D = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2}$$
Az elektromos tér pedig, mivel $\vec{E} = \frac{\vec{D}}{\epsilon_0\cdot\epsilon_r}$ ezért 
ha
$R_1<r<R_2$ akkor
$$E = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}$$
ha pedig $R_2<r$ akkor
$$E = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2\cdot\epsilon_0}$$
A potenciál az $r$ függvényében pedig:
$$U\left(r\right) = -\int_\infty^r E\left(\tilde{r}\right)\cdot d\tilde{r}$$ 
Vagyis ha $R_2<r$ akkor
$$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r\cdot\epsilon_0\cdot}$$
Ha $R_1<r<R_2$ akkor
$$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_2}\right)$$
A gömb belsejében pedig konstans ptenciál van, amelynek értéke:
$$U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right) $$
A potenciált ábrázolva, egy folytonos görbét kapunk:
1.ábra
</wlatex>
</noinclude>