Elektrosztatika példák - Dielektriumba helyezett fémgömb potenciáltere

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ felületi töltéssűrűséggel egyenletesen töltött fémgömböt egy $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastagságú, $\setbox0\hbox{$\epsilon_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ permittivitásű szigetelővel veszünk körbe. Hogyan függ a potenciál a centrumtól mért távolságtól?

Megoldás

Legyen a külső gömb sugara $\setbox0\hbox{$R_2 = R_1+d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, töltése pedig $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Írjuk fel a Gauss-tételt egy $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömbre, amely koncentrikus $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-el és $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel.

$\[\int \int\vec{D}\cdot{\vec{dA}} = Q\]$

Ha $\setbox0\hbox{$r<R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, akkor $\setbox0\hbox{$\vec{D} = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\vec{E} = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, hiszen az integrálási tartományon belül nem található töltés. Ha $\setbox0\hbox{$r>R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, akkor az elektromos eltolás nagysága a következő:

$\[D\cdot 4\cdot\pi\cdot r^2 = Q \Rightarrow D = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2}\]$

Az ebből származtatható elektromos tér nagysága pedig függ a gömböt koncentrikusan körülvevő anyag dielektromos állandójától:

$\[E = \frac{D}{\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\]$

.

Így az elektromos tér a dielektrikum rétegben ($\setbox0\hbox{$R_1<r<R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$):

$\[E = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\]$

A dielektrikum rétegen kívül ($\setbox0\hbox{$R_2<r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) :

$\[E = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2\cdot\epsilon_0}\]$

A potenciált az $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényében a következő integrál adja meg:

$\[U\left(r\right) = -\int_\infty^r E\left(\tilde{r}\right)\cdot d\tilde{r}\]$

A dielektrikum rétegen kívül: ($\setbox0\hbox{$R_2<r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)

$\[U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r\cdot\epsilon_0\cdot}\]$

A dielektrikumban: ($\setbox0\hbox{$R_1<r<R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)

$\[U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_2}\right)\]$

A fémgömb belsejében a potenciál konstans, hiszen ott nincs elektromos tér. A potenciál értéke:

$\[U = \frac{Q}{4\cdot\pi\cdot R_2\cdot\epsilon_0\cdot}+\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot\epsilon_r}\cdot\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right) \]$