Magnetosztatika - Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
A Fizipedia wikiből
Feladatok
- Határozzuk meg egy
áram által átjárt véges hosszúságú egyenes vezető mágneses terét a vezetőtől 
távolságra található az 
pontban. A vezető szakasz egyik vége pontból 
, míg a másik vége 
szög alatt látszódik az -ból a vezetőre állított merőlegeshez képest.Végeredmény![\[B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi d} (1-(-1))=\dfrac{\mu_0 I}{2 \pi d}\]](/images/math/8/5/3/853f065bc278c152dca55b624e44abc8.png)
- Határozzuk meg egy végtelen hosszú egyenes vezető mágneses terét, mint a vezetőtől mért távolság függvényét! A vezetőben áram folyik. A számításokat végezzük az Amper-féle gerjesztési törvény segítségével!Végeredmény
![\[B= \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\]](/images/math/f/1/0/f10fdea2c59fc782f76c37e7ede59acd.png)
- Határozzuk meg a mágneses indukciót az ábra alapján megadott áram által átjárt vezető elrendezés
pontjában!(ábra) 
Végeredmény![\[B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi R} \pi=\dfrac{\mu_0 I}{4 R}\]](/images/math/d/5/3/d53dd483c5b0ce1e917e9632b9c80c50.png)
sugarú hengeres vezetékben az áramsűrűség 
vektora mindenütt azonos és párhuzamos a henger tengelyével. A tengelyre merőleges 
vektor segítségével fejezzük ki a 
térerősséget az -el jelzett pontban
a) a hengeren belül;
b) és kívül.Végeredménya)![\[\vec{H}=H\vec{e}=\dfrac{jr}{2}\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{jr}=\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{2}\]](/images/math/3/f/4/3f4c2d9e58755498d5360f21a388d33e.png)
b)![\[\vec{H}=H\vec{e}=\dfrac{jR^2}{2r}\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{jr}=\dfrac{R^2}{2r^2} \left(\vec{j}\times \vec{r}\right)\]](/images/math/4/e/2/4e2f3995504fff59133188c2b34afb72.png)
- Tömör fémből készült, hosszú, egyenes körhengerben ugyancsak henger alakú üreget készítünk. Az üreg tengelye távolságra van a henger tengelyétől. Az üreges hengerben egyenletes
áramsűrűséggel tengelyirányú áram folyik. Milyen a mágneses térerősség az üreg belsejében?Végeredmény![\[\vec{H}=\dfrac{\vec{j}\times \vec{d}}{2}\]](/images/math/c/f/2/cf254b99805abec89ef44e22cd745dbc.png)
- Két egymással párhuzamos, végtelen hosszú sugarú hengeres vezetőben erősségű áram folyik azonos irányban, az ábra síkjára merőlegesen befelé. A hengerek tengelytávolsága . Az áramsűrűség a vezetők keresztmetszetén állandó. Mekkora a
mágneses indukció az ábrán jelölt 
, , 
és pontokban? 
Végeredmény![\[B_A=0\]](/images/math/5/2/4/5249640f86be299e615d5ebf267ff07f.png)
![\[B_B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}\]](/images/math/8/9/a/89a5e86989870e8ddb76e3ba252c9e22.png)
![\[B_{C}=B_{C1}+B_{C2}=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi \left( d-\dfrac{R}{2}\right)}-\dfrac{\mu_0 I}{4\pi R}= \dfrac{\mu_0 I}{2\pi} \left( \dfrac{1}{ d-\dfrac{R}{2}}-\dfrac{1}{2 R} \right)\]](/images/math/d/6/1/d6119b421afeee0a43f35ab08493c7c5.png)
- Az ábra szerinti áramkör egy homogén vezető gyűrűből áll, amelyhez két sugárirányú vezeték csatlakozik. Az áramkört záró forrás a hozzávezetésekkel együtt olyan távoli, hogy a gyűrű helyén keltett mágneses tere elhanyagolható. Mekkora a mágneses térerősség a gyűrű középpontjában?
Végeredmény![\[B=B_1+B_2=\dfrac{\mu_0 U}{4 \pi r^2 \rho}-\dfrac{\mu_0 U}{4 \pi r^2 \rho}=0\]](/images/math/3/7/7/377287a0710ddcb6970511e35a949cdc.png)
- Egy
oldalú négyzet alakú fémkeretben áram folyik. Határozzuk meg a mágneses térerősséget a keret középpontján átmenő, síkjára merőleges 
tengely mentén! Végeredmény![\[H=\dfrac{I a^2}{2 \pi \left( z^2+\left( \dfrac{a}{2} \right)^2\right) \sqrt{z^2+ \dfrac{a^2}{2} }}\]](/images/math/2/9/f/29f32ae2f69ab4b6ceb3d137d6b975e3.png)
- Az ábrán látható koaxiális vezetőben áram folyik. A belső éren (-n belül) befelé, a külső éren (
és 
között) kifelé. Határozzuk meg a mágneses teret a tengelytől mért 
távolság függvényében. 
VégeredményA belső hengerben (
) a térerősség helyfüggése: A két henger között (![\[H=\dfrac{I}{2\pi a^2} r\]](/images/math/4/5/a/45ac1ecfbedc24d0d14c4c6f28abea7b.png)
):A térerősség a külső hengerben (![\[H=\dfrac{I}{2\pi r}\]](/images/math/9/7/e/97e37ebdd4fa3accb5b02fb8864c462e.png)
): A két hengeren kívüli térben (![\[H=\dfrac{I}{2\pi r}\dfrac{c^2-r^2}{c^2-b^2}\]](/images/math/e/a/4/ea49738098a748261ba8db7bd7b31436.png)
) a térerősség zérus ![\[H=0\]](/images/math/b/6/2/b6208659f7d30aadec83d72c69578283.png)
- Az ábrán látható vezető körben áram folyik.
a) Mekkora és milyen irányú az sugarú kör középpontjában a mágneses térerősségnek a körvezetőtől származó része, ha az és pontokat összekötő negyedkörív alakú vezető keresztmetszete 
átmérőjű, míg a háromnegyed körívé ?
b) Mekkora és milyen irányú mágneses teret kelt a körhöz csatlakozó két vezető szakasz?
c) Mekkora és milyen irányú teret kelt a másik két egyenes vezető szakasz, ha ezeknek a szakaszoknak a hossza?
d) Mekkora és milyen irányú a teljes rendszer által létrehozott mágneses tér a kör középpontjában?
Végeredménya)![\[B_{kor}=B_1+B_2=\dfrac{3\mu_0 I}{r}\left( \dfrac{1}{26}-\dfrac{1}{104} \right)=\dfrac{9\mu_0 I}{104r}\]](/images/math/9/0/d/90dbd04a6d8e8eaebfe7fb5f2f5e2fdf.png)
b)![\[B=0\]](/images/math/1/3/1/131f115805c4a403a4d3c6d67b664c60.png)
c)![\[B_{negyzet}=2B_3=-\dfrac{\sqrt{2} \mu_0 I}{4 \pi a}\]](/images/math/5/d/3/5d345b02b632185e930ab8a19b8043b7.png)
d)![\[B_e=B_{kor}+B_{negyzet}=\dfrac{9\mu_0 I}{104r}-\dfrac{\sqrt{2} \mu_0 I}{4 \pi a}\]](/images/math/6/6/c/66c6bda7330c9cddd6ff31000925576a.png)
- hosszúságú szigetelőpálca végére elhelyezett kisméretű testet
töltéssel látunk el. A szigetelő nyél másik végét tengelyhez rögzítve 
szögsebességgel megforgatjuk.
a) Milyen hatással lesz a körmozgást végző töltött test a környezetére?
b) Mekkora és milyen irányú lesz a mágneses indukció a kör középpontján átmenő, pálya síkjára merőleges tengely mentén?Végeredménya) A körmozgást végző töltés jó közelítéssel köráramnak tekinthető ![\[I=\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}=\dfrac{QN \Delta t}{\Delta t}=\dfrac{Q\omega}{2\pi}\]](/images/math/6/9/8/6988dfa2fe80767aefb7fcf889856ca4.png)
b)![\[B_z=\dfrac{\mu_0 I R^2}{2 (R^2+z^2)^{3/2}}\]](/images/math/3/7/9/3799f1adb400e45e9801c1bd4574df04.png)
- Egy R sugarú üvegkorong egyik oldalát
egyenletes töltéssűrűséggel látjuk el. A korongot a szimmetriatengelye körül szögsebességgel megforgatjuk. Mekkora lesz a mágneses tér a korong tengelyén, a korong síkjától távolságban? Végeredmény![\[B_z=\dfrac{\mu_0 \Omega \omega}{2} \left[ \dfrac{r^2+2z^2}{ (r^2+z^2)^{1/2}} \right]_0^R= \dfrac{\mu_0 \Omega \omega}{2} \left( \dfrac{R^2+2z^2}{ (R^2+z^2)^{1/2}} -2z\right)\]](/images/math/f/8/b/f8b72aadb1a696cc9f2c390167ab863a.png)
- Határozzuk meg a mágneses indukció nagyságát egy
hosszúságú, 
menetű szolenoidban, amelyben áram folyik gerjesztési törvény segítségével.Végeredmény![\[B=\dfrac{\mu_0 NI}{l}\]](/images/math/2/0/7/207641385b12448b0305980157b8c127.png)
- Határozzuk meg a mágneses indukció nagyságát egy sugarú, hosszúságú, menetű szolenoidban, amelyben áram folyik, Biot-Savart törvény segítségével.Végeredmény
![\[\lim_{R/l \to 0}B=\lim_{R/l \to 0}\dfrac{\mu_0 NI}{\sqrt{4R^2+l^2}}=\dfrac{\mu_0 NI}{l}\]](/images/math/7/0/8/708e6805e1c5b648b091966e360e2b4f.png)
