Magnetosztatika példák - Négyzet alakú fémkeret mágneses tere

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Magnetosztatika - Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
Feladatok listája:
  1. Egyenes vezető mágneses tere
  2. Egyenes vezető mágneses tere 2
  3. Áram által átjárt vezető elrendezés mágneses tere
  4. Áram által átjárt hengeres vezetékben a mágneses tér
  5. Áram által átjárt üreges hengerben a mágneses tér
  6. Párhuzamos, végtelen vezetők mágneses tere
  7. Gyűrű alakú vezető mágneses tere
  8. Négyzet alakú fémkeret mágneses tere
  9. Koaxiális vezető mágneses tere
  10. Körív alakú vezető mágneses tere
  11. Körmozgást végző töltött test mágneses tere
  12. Forgó korong mágneses tere
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% oldalú négyzet alakú fémkeretben \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áram folyik. Határozzuk meg a mágneses térerősséget a keret középpontján átmenő, síkjára merőleges \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tengely mentén!

Megoldás


A keret által létrehozott tér a négy darab él terének összegeként írható le. A véges hosszúságú, \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áram által átjárt egyenes vezetékdarab mágneses terét az Egyenes vezető mágneses tere feladatában már meghatároztuk:

\[B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin(\alpha_1)-\sin(\alpha_2))\]

Ahol \setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a vizsgált pont és a vezetődarab távolsága, \setbox0\hbox{$\alpha_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\alpha_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a rúd két végpontjának látószöge a vizsgált pontból a vezetékhez húzott merőlegeshez képest. A feladatban szereplő négyzetes keret középpontja felett \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% magasságban kijelölt pont egy négyzet alapú gúlává egészíti ki a rendszer geometriáját, ahogy az ábrán látható.

KFGY2-6-8uj3.png

A gúla egy oldallapjának, mint egyenlő szárú háromszögnek a magassága megegyezik a vezető keret adott élének a vizsgált ponttól mért távolságával:

\[d=\sqrt{z^2+\left( \dfrac{a}{2} \right)^2 }\]

A gúla élének hossza hasonló geometriai megfontolások alapján meghatározható:

\[l=\sqrt{z^2+\left( \dfrac{a}{2} \right)^2 +\left( \dfrac{a}{2} \right)^2 }=\sqrt{z^2+ \dfrac{a^2}{2} }\]

Ezek ismeretében meghatározható az oldallap magassága és az élek által bezárt \setbox0\hbox{$\alpha_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\alpha_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szög szinusza:

\[\sin(\alpha_1)=\dfrac{a}{2l}=\dfrac{a}{2\sqrt{z^2+ \dfrac{a^2}{2} }}\]
\[\sin(\alpha_2)=-\dfrac{a}{2l}=-\dfrac{a}{2\sqrt{z^2+ \dfrac{a^2}{2} }}\]

Már mindent ismerünk ahhoz, hogy meghatározzuk a keret egyetlen éle által a gúla csúcspontjában keltett mágneses indukció nagyságát:

\[B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin(\alpha_1)-\sin(\alpha_2))=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi \sqrt{z^2+\left( \dfrac{a}{2} \right)^2 }} \dfrac{a}{\sqrt{z^2+ \dfrac{a^2}{2} }}\]

A fenti \setbox0\hbox{$\vec{B}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% indukció vektora azonban merőleges a gúla oldallapjára, így, ha összegezni akarjuk a keret négy éle által keltett teret, akkor négy darab \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nagyságú, de a gúla egyes oldallapjaira merőleges vektort kell összegeznünk. A gúla szimmetriája miatt az egyes indukció vektorok keret síkjával párhuzamos komponensei kioltják egymást. Keret síkjára merőleges komponensei összeadódnak, így az eredő tér is a keret síkjára merőleges irányú lesz. Hogy ennek nagyságát meghatározzuk, meg kell határoznunk a fent kiszámolt \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% indukció \setbox0\hbox{$B_z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függőleges komponensét:

\[B_z=B \sin(\beta)\]

Ahol \setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a \setbox0\hbox{$\vec{B}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vektor keret síkjával bezárt szöge. A merőleges szárú szögek tételéből következően a gúla magassága és a gúla oldallapjának magasságvonala szintén \setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szöget zár be egymással. Tehát:

\[\sin(\beta)=\dfrac{a}{2d}=\dfrac{a}{2\sqrt{z^2+\left( \dfrac{a}{2} \right)^2 }}\]

Az eredő tér így a következőnek adódik:

\[B_e=4B_z=4B \sin(\beta)=\dfrac{\mu_0 I a^2}{2 \pi \left( z^2+\left( \dfrac{a}{2} \right)^2\right)  \sqrt{z^2+ \dfrac{a^2}{2} }}\]


Vagyis a mágneses térerősség:

\[H = \dfrac{ I a^2}{2 \pi \left( z^2+\left( \dfrac{a}{2} \right)^2\right)  \sqrt{z^2+ \dfrac{a^2}{2} }}\]