Elektrosztatika - Vezetőképesség, áramsűrűség

Feladatok

1. Számítsuk ki az
   a) $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömblemezekből álló $\setbox0\hbox{$(a<b)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vezetőképességű közeggel kitöltött gömbkondenzátor; ill.
   b) az $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, fegyverzetekből álló, $\setbox0\hbox{$\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vezetőképességű közeggel kitöltött hengerkondenzátor $\setbox0\hbox{$(L>>b)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállását!
   A fegyverzetek közti feszültség mindkét esetben időben állandó!
   Végeredmény

   a)

   $\[R = \frac{U}{I} = \frac{1}{4 \pi\sigma}\cdot\frac{b-a}{ab}\]$

   
   b)

   $\[R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}{2 \pi L\sigma}\]$
   Megoldás
   
   
2. Egy $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ élhosszúságú kocka anyagának vezetőképessége a magasság függvényében így változik:
   $\[\sigma = \sigma_0\cdot\frac{2a-z}{a}\]$
   Számítsuk ki a kocka ellenállását
   a) az alsó és felső;
   b) a két átellenes, oldalsó lap között.
   Végeredmény

   a)

   $\[R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(2\right)}{\sigma_0 a}\]$

   
   b)

   $\[R = \frac{U}{I} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a \sigma_0}\]$
   Megoldás
   
   
3. $\setbox0\hbox{$\sigma_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\sigma_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vezetőképességű anyagok érintkező felületén normális irányú áramsűrűség folyik át. Határozzuk meg a felületi töltéssűrűséget!
   Végeredmény

   $\[W=\dfrac{4 \rho^2 \pi R^5}{15 \varepsilon_0}\]$
   Megoldás
   
   
4. Egy síkkondenzátor fegyverzetek közötti terét két vezető lemezzel töltjük ki. A lemezek egymással és a kondenzátor lemezeivel teljes felületükön érintkeznek. A lemezek vastagsága $\setbox0\hbox{$h_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$h_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, vezetőképességük és dielektromos állandójuk $\setbox0\hbox{$\sigma_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$,$\setbox0\hbox{$\sigma_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, illetve $\setbox0\hbox{$\epsilon_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$\epsilon_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A kondenzátorlemezek (melyek $\setbox0\hbox{$\sigma_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nél és $\setbox0\hbox{$\sigma_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nél jóval nagyobb vezetőképességű anyagból készültek) között adott a potenciálkülönbség: $\setbox0\hbox{$\Delta U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Határozzuk meg az elektromos tér, valamint az elektromos eltolás nagyságát! Határozzuk meg az áramsűrűség nagyságát a közegekben, továbbá a stacionárius áramok hatására kialakuló felületi töltéssűrűséget! A síkkondenzátort ideálisnak tételezzük fel, azaz a szélein kialakuló szórt tértől tekintsünk el!
   
   Végeredmény

   $\[D_2 A-D_1 A =\omega A \rightarrow \omega = D_2-D_1 = \frac{\Delta U\epsilon_0\cdot \left(\epsilon_2\sigma_1-\epsilon_1\sigma_2\right)}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2} \]$

   .
   Megoldás
   
   
5. Határozzuk meg az áramvonalak törési törvényét a $\setbox0\hbox{$\sigma_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\sigma_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vezetőképességű közegek határán.
   Végeredmény

   $\[\sigma_1\cdot\cot\left(\alpha_1\right) = \sigma_2\cdot\cot\left(\alpha_2\right)\]$
   Megoldás