Magnetosztatika - Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram

Feladatok

1. Egy $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menetes toroid vasmagjában $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áramerősség hatására $\setbox0\hbox{$\Phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fluxus jön létre. Mekkora a mágneses tér energiája?
   Végeredmény

   $\[E = \frac{1}{2}LI = \frac{1}{2}N\Phi I\]$
   Megoldás
   
   
2. Egy $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ középsugarú, $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ keresztmetszetű vasgyűrűre $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menetet tekercselnek. A gyűrűn $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ széles légrést alakítanak ki. A használatos gerjesztő áramoknál a vas relatív permeabilitása $\setbox0\hbox{$\mu_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Határozzuk meg a légrésben és a vasmagban tárolt energia arányát! Az energiából mekkora öninduktivitás számolható?
   Végeredmény

   $\[\frac{E_{leg}}{E_{vas}} = \frac{\mu_r b}{\left(2\pi r-b\right)}\]$

   
   

   $\[L = \frac{N^2\mu_0\mu_r A}{2 \pi r+b\left(\mu_r-1\right)}\]$
   Megoldás
   
   
3. Egy $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ induktivitású és $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállású tekercset egy $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elektromotoros erejű telephez kapcsolunk. Mennyi idő alatt éri el az áram az állandósult értékének az $\setbox0\hbox{$50\%$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-át?
   Végeredmény

   $\[t = -\frac{L}{R}\ln\left(0.5\right)\]$
   Megoldás
   
   
4. Egy $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ induktivitású tekercset és egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállást egy $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciával szinuszosan változó feszültségű forrásra kapcsolunk. Mekkora $\setbox0\hbox{$\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szöggel késik az áram a feszültséghez képest?
   Végeredmény

   $\[\phi = \arctan\left(\frac{L\omega}{R}\right)\]$
   Megoldás
   
   
5. Határozzuk meg, mekkora az eltolási áram egy olyan síkkondenzátor esetén, amelynek lemezei egymással párhuzamosak maradnak, miközben $\setbox0\hbox{$u$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel távolodnak egymástól, ha
   a) az $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltéssűrűség állandó
   b) a lemezek közötti feszültség állandó.
   
   Végeredmény

   a)

   $\[\frac{\partial D}{\partial t} = 0\]$

   
   b)

   $\[\frac{\partial D}{\partial t} = -\frac{U \epsilon_0}{ut^2}\]$
   Megoldás
   
   
6. Mekkora egy S keresztmetszetű ideális síkkondenzátor lemezei között az elektromos térerősség maximális értéke, ha a kondenzátorra kapcsolt áram szinuszosan váltakozik: Vagyis $\setbox0\hbox{$I(t) = I_0\cdot \sin(\omega t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Végeredmény

   $\[E = \frac{I_0}{\omega\epsilon_0 S}\]$
   Megoldás
   
   
7. Hosszú, egyenes szolenoid hosszegységenként $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menettel rendelkezik, és $\setbox0\hbox{$I = I_0\cdot \sin\left(\omega t\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erősségű váltakozó áram járja át. Határozzuk meg az eltolási áramsűrűséget a szolenoid tengelyétől mért távolság függvényében, ha szolenoid keresztmetszetének sugara $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$!
   Végeredmény

   $\[\frac{\partial D}{\partial t}= \frac{1}{2}\mu_0 \epsilon_0 I_0 \omega^2 r n \sin\left(\omega t \right)\]$
   Megoldás