Magnetosztatika példák - Eltolási áramsűrűség szolenoidban

Feladat

1. Hosszú, egyenes szolenoid hosszegységenként $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menettel rendelkezik, és $\setbox0\hbox{$I = I_0\cdot \sin\left(\omega t\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erősségű váltakozó áram járja át. Határozzuk meg az eltolási áramsűrűséget a szolenoid tengelyétől mért távolság függvényében, ha szolenoid keresztmetszetének sugara $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$!

Megoldás

A szolenoid belsejében változik a mágneses tér fluxusa, ezért ott örvényes elektromos tér indukálódik. Írjuk fel a második Maxwell egyenletet egy $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gyűrűre, melynek tengelye egybe esik a szolenoid tengelyével:

$\[\oint \vec{E}\cdot \vec{dl} = -\frac{\partial}{\partial t} \iint \vec{B}\cdot \vec{dA}\]$

$\[E2\pi r = -\frac{\partial}{\partial t} B(t) r^2 \pi = -\frac{\partial}{\partial t} \mu_0 I_0\cdot \sin\left(\omega t\right) n r^2 \pi\]$

Ebből pedig:

$\[E = -\frac{1}{2}\mu_0 I_0 \omega r n \cos\left(\omega t \right)\]$

Így az elektromos eltolás és az eltolási áramsűrűség nagysága:

$\[D = -\frac{1}{2}\mu_0 \epsilon_0 I_0 \omega r n \cos\left(\omega t \right)\]$

$\[\frac{\partial D}{\partial t}= \frac{1}{2}\mu_0 \epsilon_0 I_0 \omega^2 r n \sin\left(\omega t \right)\]$