Magnetosztatika példák - Légrésben és a vasmagban tárolt energia

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Magnetosztatika - Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Feladatok listája:
  1. Toroid energiája
  2. Légrésben és a vasmagban tárolt energia
  3. Tranziens jelenség LR körben
  4. Fáziskésés váltakozó-áramú LR körben
  5. Eltolási áram síkkondenzátorban
  6. Váltakozó áramra kapcsolt síkkondenzátorban a térerősség
  7. Eltolási áramsűrűség szolenoidban
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% középsugarú, \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% keresztmetszetű vasgyűrűre \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% menetet tekercselnek. A gyűrűn \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% széles légrést alakítanak ki. A használatos gerjesztő áramoknál a vas relatív permeabilitása \setbox0\hbox{$\mu_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Határozzuk meg a légrésben és a vasmagban tárolt energia arányát! Az energiából mekkora öninduktivitás számolható?

Megoldás


Írjuk fel az Ampére-féle gerjesztési törvényt egy \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú, a toroid belsejében elhelyezkedő körre, melynek tengelye a toroid forgástengelyével egybe esik:

\[\oint \vec{H}\vec{dl} = NI\]

A mágneses tér az egyes közegekben állandó nagyságú, érintő irányú. Mivel az erővonalak a közeghatárokon merőlegesen haladnak át, a tér nagysága eltérő a két közegben.

\[H_{vas}(2\pi r-b)+H_{res} b = N I\]

A mágneses indukció nagysága viszont mindkét közegben egyforma, így:

\[\frac{B}{\mu_0 \mu_r} (2\pi r-b) + \frac{B}{\mu_0} b = NI \]

Ebből a mágneses indukció nagyságát kifejezve:

\[B = \frac{NI\mu_0} {\left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b \right)}  \]

A mágneses térerősség nagysága a két közegben:

\[H_{vas} = \frac{B}{\mu_0 \mu_r} = \frac{NI}{\mu_r \left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)}\]
\[H_{res} = \frac{B}{\mu_0} = \frac{NI}{ \left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)}\]


A vasmagban és a légrésben tárolt energiát úgy határozhatjuk meg, hogy kiszámoljuk mindkét térrészben az energiasűrűséget (\setbox0\hbox{$w = \frac{1}{2}\vec{B}\cdot\vec{H}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), és azt megszorozzuk térrész térfogatával. A légrésben tárolt energia:

\[E_{leg} = \frac{1}{2}  \frac{N^2I^2\mu_0} {\left(   \frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)^2}  \cdot V_{leg} =\frac{1}{2}  \frac{N^2I^2\mu_0} {\left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)^2}\cdot Ab \]

A vasmagban pedig:

\[E_{vas} = \frac{1}{2}  \frac{N^2I^2\mu_0 } {\mu_r \left(   \frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)^2}  \cdot V_{vas} =\frac{1}{2}  \frac{N^2I^2\mu_0 } {\mu_r \left(\frac{2\pi r-b}{\mu_r}+b\right)^2}\cdot A(2\pi r-b) \]

Ebből a légrésben és a vasmagban tárolt enerigia aránya:

\[\frac{E_{leg}}{E_{vas}} = \frac{\mu_r b}{\left(2\pi r-b\right)}\]

Mivel a tekercsre igaz hogy:

\[E = \frac{1}{2}LI^2\]

Ezért az energiából a következőképpen számolhatjuk ki az öninduktivitást:

\[L = \frac{2 \left( E_{vas}+E_{leg} \right)} {I^2} = \frac{N^2\mu_0\mu_r A}{2 \pi r+b\left(\mu_r-1\right)}\]