Elektrosztatika - Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
A Fizipedia wikiből
Feladatok
- Egy
oldalú négyzet csúcspontjaiba egyforma 
töltést helyezünk.Mekkora és milyen irányú erő hat egy-egy töltésre? Hova kellene helyezni egy újabb töltést, hogy egyikre se hasson erő? Mekkora nagyságú, és milyen előjelű ez a töltés?
VégeredményHa azt szeretnénk, hogy egyik töltésre se hasson erő, akkor a négyzet középpontjába kell egy olyan
ellentétes előjelű töltést tennünk, ahol 
- Egy
és egy 
nagyságú pontszerű töltés 
távolságra helyezkedik el egymástól. Határozzuk meg a töltéserendezés terének térerősségét, a két töltést összekötő egyenes mentén a töltések közötti távolság felezőpontjából mért távolság függvényében!
VégeredményA két töltésből származó terek a három térrészben:
1)
2)
3)
- Egy
sugarú vékony körvezető töltése 
. Határozzuk meg a térerősséget a körvezető tengelyén, a körvezető síkjától 
távolságban. A tengely mely pontján a legnagyobb a térerősség?ÚtmutatásA gyűrűt elemi részekre osztjuk, és a kérdéses pontban összegezzük a gyűrűelemek térerősség járulékait.Végeredmény![\[ z=\dfrac{r}{\sqrt{2}}\]](/images/math/8/2/5/82567e131eb8f6e89cf20bf7109cac64.png)
- Adott egy
sugarú korong egyenletesen töltött 
felületi töltéssűrűséggel. Határozzuk meg a térerősséget a körvezető tengelyén, a korong síkjától távolságban!ÚtmutatásAz sugarú korongunkat osszuk igen vékony, 
sugarú töltött gyűrűk sokaságára Végeredmény![\[E=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}} \left(1-\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{1/2}} \right)\]](/images/math/e/7/6/e760b68831c68f2b1ca6a11b95ddee89.png)
- Végtelen hosszú egyenes fonálon a lineáris töltéssűrűség
. Mekkora az elektromos térerősség a fonáltól távolságra? ( A keresett térerősséget, pontszerű töltések erőterének szuperpozíciójaként állítsuk elő!)Végeredmény![\[\vec{E_{z}} = \frac{2\cdot k\cdot\lambda}{d}\]](/images/math/0/a/3/0a330317445f95b81ca8ec5dbbd30fe6.png)
- Végtelen hosszú egyenes fonálon a lineáris töltéssűrűség . Határozzuk meg a térerősséget a fonáltól távolságra a Gauss-tétel segítségével!Végeredmény
![\[\vec{E}= \frac{\lambda}{2\cdot r\cdot\epsilon_{0}\cdot\pi}\]](/images/math/6/0/4/604861a9e23b3498d3e96a961e6cc21b.png)
- Végtelen kiterjedésű síkon felületi töltéssűrűség van. Határozzuk meg a térerősséget a Gauss-tétel segítségével a síktól távolságra!Végeredmény
![\[E=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_0} \]](/images/math/e/2/6/e26be922b627f50e8d32ed593468c2e1.png)
- Milyen erőteret hoz létre két, egymásra merőleges végtelen sík, ha rajtuk egyenletesen elosztva és
töltéssűrűség van?ÚtmutatásÍrjuk fel a két sík tereinek szuperpozícióját!Végeredmény![\[\overline{E}=\dfrac{\omega}{\varepsilon_0}\left( \dfrac{x}{\vert x\vert}\overline{i}+\dfrac{y}{2\vert y\vert}\overline{j} \right)\]](/images/math/8/5/0/85031d55794ce0f5acd93534b092d91f.png)
Ahol
és 
az 
és 
irányú egységvektorok.
- Egy sugarú gömbben egyenletes
térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg a térerősséget a gömb középpontjától mért távolság függvényében, a gömbön belül és kívül!ÚtmutatásHasználjuk a Gauss tételt a különböző térrészekre!VégeredményA gömbön belül:![\[\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_{r}}\]](/images/math/e/3/0/e30aec9803d933b7acabfb8843f72edb.png)
A gömbön kívül pedig:![\[\vec{E}=\frac{\rho\cdot R^{3}}{\epsilon_{0}\cdot 3\cdot r^{2}}\cdot\vec{e_{r}}\]](/images/math/5/6/e/56e41121a5ed4c2cd4e68dbe29bfdc7a.png)
- Egy
sugarú gömben egyenletes térfogati töltéssűrűség van. Ezt egy 
sugarú földelt fémgömb veszi körül koncentrikus elrendezésben.
a) Határozzuk meg, a térerősséget a gömb középpontjától mért távolság függvényében, a gömbön belül és kívül!
b) Mekkora felületi töltéssűrűség alakul ki a földelt gömbhéj belső felületén?ÚtmutatásHasználjuk a Gauss tételt a különböző térrészekre!VégeredményHa
:Ha
:: Ha pedig
: ![\[\vec{E}=0\]](/images/math/2/c/d/2cd8159c5107d7b441bcba4a41bb2ea1.png)
- Egy állandó térfogati töltéssűrűségű sugarú gömben a közzéppontól távolságra egy sugarú üreg van (
). Mekkora a térerősség az üregben?ÚtmutatásA kialakuló térerrősséget az üregben felírhatjuk egy homogén töltéssűrűségű sugarú, és egy 
töltéssűrűségű sugarú gömb tereinek szuperpozíciójaként. Végeredmény![\[\vec{E}=\frac{\pi\cdot\rho}{3\cdot\epsilon_{0}}\cdot\vec{d}\]](/images/math/f/e/e/feef12b2a50099ef8ae11b686d0fec6d.png)
,ahol
az origóból az üreg közepébe mutató vektor.
- Egymástól
távolságban párhuzamosan elhelyezett két igen hosszú fonalat egyenletesen töltünk fel 
és 
lineáris töltéssűrűséggel. Határozzuk meg a térerősséget abban a pontban, mely a két fonalat magában foglaló síktól távolságban helyezkedik el a rendszer szimmetriasíkjában!ÚtmutatásSzuperponáljuk a két vonaltöltés elektromos terétVégeredmény![\[ E_e=\dfrac{\lambda}{\pi\varepsilon_0}\dfrac{d}{(d^2+z^2)}\]](/images/math/9/c/0/9c0c16af5ed3b4ee67e6c1206b32a413.png)
- Egy vékony szigetelő drótot sugarú kör alakúra hajlítunk, és
lineáris töltéssűrűséggel látunk el, ahol 
a drót kezdőpontja és az aktuális hely közötti középponti szög. Határozzuk meg, és ábrázoljuk a térerősséget a kör tengelyén a kör síkjától mért távolság függvényében!Útmutatása kört
szög alatt látszó ívelemekre bontjuk, és a kérdéses pontban összegezzük a gyűrűelemek térerősség járulékait. Végeredmény![\[E=\dfrac{\lambda_0 R}{4\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{3/2}}\]](/images/math/6/7/3/673a6c7af6055806a6e118a141b28be8.png)
sugarú szigetelő gömb térfogatában töltés oszlik el egyenletesen. A gömböt egy véges vastagságú fém gömbhéj veszi körül, melynek görbületi sugarai 
és 
. A gömbhéj eredő töltése 0.
a) Határozzuk meg a szigetelő gömbben a térfogati töltéssűrűséget!
b) Milyen előjelű és milyen nagyságú felületi töltéssűrűség alakul ki az és sugarú felületeken?
c) Határozzuk meg a térerősséget az
sugáron!
d) Rajzoljuk fel jellegre helyesen az elektromos térerősséget, mint a távolság függvényét!ÚtmutatásMivel a fém nem földelt, a fémfelületen töltésmegosztás jön létre úgy, hogy a fém belsejében a tér nulla lesz, továbbá a fém gömbhéj össztöltése szintén nulla marad.Végeredménya)b)![\[\varrho=\dfrac{Q}{\dfrac{4}{3}R_1^3\pi}\]](/images/math/a/5/a/a5a8d64357cbc4cd512ed3de0c3c745c.png)
![\[\omega_2=\dfrac{-Q}{4R_2^2\pi}\]](/images/math/1/0/b/10b0257aecae9a1ef85eb9a6162234d5.png)
illetve:c)![\[\omega_3=\dfrac{Q}{4R_3^2\pi}\]](/images/math/0/4/b/04b60fad70a1ad31c4d6ebe370f24148.png)
![\[E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r^2}\]](/images/math/c/0/7/c0711a67bf70979b3d447ad9c873f80b.png)
