Elektrosztatika példák - Négyszög sarkaiba helyezett ponttöltések elektromos tere

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalú négyzet csúcspontjaiba egyforma $\setbox0\hbox{$+q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltést helyezünk.Mekkora és milyen irányú erő hat egy-egy töltésre? Hova kellene helyezni egy újabb töltést, hogy egyikre se hasson erő? Mekkora nagyságú, és milyen előjelű ez a töltés?
   

Megoldás

Ha a kiszemelt töltésen az ábrán látható módon felveszünk egy koordináta rendszert, akkor annak helyén a többi töltés által keltett térerősség:

$\[\vec{E_{1}} = k \frac{q}{a^2}\vec{e_x}\]$

$\[\vec{E_{2}} = k \frac{q}{2a^2} \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\vec{e_x}+\vec{e_y} \right)\]$

$\[\vec{E_{3}} = k \frac{q}{a^2}\vec{e_y}\]$

Ahol az egyszerűség kedvéért a Coulomb törvényben szereplő $\setbox0\hbox{$1/4\pi \varepsilon_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ konstanst $\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-val jelöltük. A $\setbox0\hbox{$q_{4}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltésre ható elektromos tér a három töltés terének szuperpozíciójaként áll elő. Látható, hogy a négyzet átlójára merőleges erők éppen kiejtik egymást, így a kiszemelt töltésre csak átló irányú tér fog hatni. Ennek nagysága pedig:

$\[E = k \frac{q}{a^2} \left(\sqrt{2}+ \frac{1}{2} \right)\]$

Amiből a töltésre ható erő:

$\[\vec{F}=qE \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\vec{e_x}+\vec{e_y} \right)\]$

Ha azt szeretnénk, hogy egyik töltésre se hasson erő, akkor pedig a négyzet középpontjába kell egy olyan $\setbox0\hbox{$q*$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellentétes előjelű töltést tennünk, amely által keltett erő megegyező nagyságú és ellentétes irányú a többi töltés által kifejtett erővel.

$\[\vec{F*}=\vec{-F_{e}} \]$

$\[ k \frac{q^*}{\left( \frac{\sqrt{2}a}{2} \right)^2} = k \frac{q}{a^2} \left(\sqrt{2}+ \frac{1}{2} \right)\]$

Innen pedig:

$\[q* = -q(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}).\]$