Elektrosztatika példák - Két, egymásra merőleges végtelen sík elektromos tere

Feladat

1. Milyen erőteret hoz létre két, egymásra merőleges végtelen sík, ha rajtuk egyenletesen elosztva $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$2\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltéssűrűség van?

Megoldás

Az $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltéssűrűségű végtelen síklap körül kialakuló elektromos teret ismerjük a Végtelen sík elektromos tere feladat alapján:

$\[E=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_0} \]$

Tegyük fel, hogy az $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltéssűrűségű síklap az $\setbox0\hbox{$x-z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ síkban, míg a $\setbox0\hbox{$2\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltéssűrűségű síklap az $\setbox0\hbox{$y-z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ síkban van. Ekkor az $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltéssűrűségű síklap tere az $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengellyel párhuzamos, helyfüggését az alábbi összefüggés írja le:

$\[E_y=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_0}\dfrac{y}{\vert y\vert} \]$

Míg a $\setbox0\hbox{$2\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sík tere a következőképp alakul:

$\[ E_x=\dfrac{\omega}{\varepsilon_0}\dfrac{x}{\vert x\vert}\]$

Az eredő tér ezek szuperpozíciója:

$\[\overline{E}=\dfrac{\omega}{\varepsilon_0}\left( \dfrac{x}{\vert x\vert}\overline{i}+\dfrac{y}{2\vert y\vert}\overline{j} \right)\]$

Ahol $\setbox0\hbox{$\overline{i}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\overline{j}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányú egységvektorok.