Elektrosztatika példák - Végtelen hosszú egyenes fonál elektromos tere 1.

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Elektrosztatika - Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
Feladatok listája:
  1. Négyszög sarkaiba helyezett ponttöltések elektromos tere
  2. Két töltést összekötő egyenes mentén az elektromos tér
  3. Körvezető tengelye mentén az elektromos tér
  4. Egyenletesen töltött körlap tengelye mentén az elektromos tér
  5. Végtelen hosszú egyenes fonál elektromos tere 1.
  6. Végtelen hosszú egyenes fonál elektromos tere 2.
  7. Végtelen sík elektromos tere
  8. Két, egymásra merőleges végtelen sík elektromos tere
  9. Homogén térfogati töltéssűrűségű töltött gömb elektromos tere
  10. Földelt gömbhéjjal koncentrikusan körülvett egyenletesen töltött gömb elektromos tere
  11. Egyenletesen töltött gömbben lévő, gömb alakú üreg elektromos tere
  12. Végtelen hosszú egyenes fonálpár elektromos tere
  13. Az elektromos térerősség helyfüggő lineáris töltéssűrűségű szigetelő gyűrű tengelye mentén
  14. Vezető gömbhéjjal koncentrikusan körülvett egyenletesen töltött gömb elektromos tere
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Végtelen hosszú egyenes fonálon a lineáris töltéssűrűség \setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Mekkora az elektromos térerősség a fonáltól \setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra? ( A keresett térerősséget, pontszerű töltések erőterének szuperpozíciójaként állítsuk elő!)

Megoldás


A keresett elektromos teret, pontszerű töltések szuperpozíciójaként állítjuk elő.

KFGY2-1-5.png

A vonaltöltés pontjait a vizsgált pontból a vonaltöltésre állított merőlegeshez mért \setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% látószög szerint parametrizáljuk. A vonaltöltés infinitezimális \setbox0\hbox{$d\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szög alatt látszódó szakasza \setbox0\hbox{$dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú. Határozzuk meg \setbox0\hbox{$dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t \setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényében! A vonaltöltés elemi szakasza és a vizsgált pont közötti \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolság:

\[r=\frac{d}{\cos( \alpha)}\]

Ez alapján az ábrán jelölt \setbox0\hbox{$dl'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szakasz hossza:

\[dl'=rd\alpha=\frac{d}{\cos( \alpha)}d\alpha\]

Merőleges szárú szögek tétele alapján belátható, hogy a kérdéses \setbox0\hbox{$dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szakasz hossza:

\[dl=\frac{dl'}{\cos( \alpha)}=\frac{d}{\cos{\alpha}^{2}}d\alpha\]

Ebből a vonaltöltés elemi szakaszának töltése:

\[dQ =\lambda dl =\lambda\cdot\frac{d}{\cos{\alpha}^{2}}d\alpha\]


Az \setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szög alatt látszó, \setbox0\hbox{$dq$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltésű elemi szakasz terének \setbox0\hbox{$dE$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nagysága a kérdéses pontban:


\[dE = k\cdot\frac{dQ}{r^2}= k\cdot\frac{dQ}{(\frac{d}{\cos{\alpha}})^{2}}\]

Ezen térerősség vonaltöltésre merőleges \setbox0\hbox{$dE_z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% komponense:


\[dE_z =dE\cos(\alpha) = k\cdot\frac{dQ}{(\frac{d}{\cos{\alpha}})^{2}}\cdot\cos{\alpha}\]

A fonállal párhuzamos irányú térerősségek kiejtik egymást.

A töltéselrendezés által a kérdéses pontban keltett tér nagyságát integrálással határozhatjuk meg:


\[E_{z}= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}k\cdot\lambda\cdot\frac{\cos\alpha}{d}d\alpha\]

Vagyis:

\[E_{z} = \frac{2\cdot k\cdot\lambda}{d}\]