Elektrosztatika példák - Végtelen hosszú egyenes fonál elektromos tere 1.

Feladat

1. Végtelen hosszú egyenes fonálon a lineáris töltéssűrűség $\setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora az elektromos térerősség a fonáltól $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra? ( A keresett térerősséget, pontszerű töltések erőterének szuperpozíciójaként állítsuk elő!)

Megoldás

A keresett elektromos teret, pontszerű töltések szuperpozíciójaként állítjuk elő.

A vonaltöltés pontjait a vizsgált pontból a vonaltöltésre állított merőlegeshez mért $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ látószög szerint parametrizáljuk. A vonaltöltés infinitezimális $\setbox0\hbox{$d\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szög alatt látszódó szakasza $\setbox0\hbox{$dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú. Határozzuk meg $\setbox0\hbox{$dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényében! A vonaltöltés elemi szakasza és a vizsgált pont közötti $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolság:

$\[r=\frac{d}{\cos( \alpha)}\]$

Ez alapján az ábrán jelölt $\setbox0\hbox{$dl'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szakasz hossza:

$\[dl'=rd\alpha=\frac{d}{\cos( \alpha)}d\alpha\]$

Merőleges szárú szögek tétele alapján belátható, hogy a kérdéses $\setbox0\hbox{$dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szakasz hossza:

$\[dl=\frac{dl'}{\cos( \alpha)}=\frac{d}{\cos{\alpha}^{2}}d\alpha\]$

Ebből a vonaltöltés elemi szakaszának töltése:

$\[dQ =\lambda dl =\lambda\cdot\frac{d}{\cos{\alpha}^{2}}d\alpha\]$

Az $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szög alatt látszó, $\setbox0\hbox{$dq$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ töltésű elemi szakasz terének $\setbox0\hbox{$dE$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagysága a kérdéses pontban:

$\[dE = k\cdot\frac{dQ}{r^2}= k\cdot\frac{dQ}{(\frac{d}{\cos{\alpha}})^{2}}\]$

Ezen térerősség vonaltöltésre merőleges $\setbox0\hbox{$dE_z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ komponense:

$\[dE_z =dE\cos(\alpha) = k\cdot\frac{dQ}{(\frac{d}{\cos{\alpha}})^{2}}\cdot\cos{\alpha}\]$

A fonállal párhuzamos irányú térerősségek kiejtik egymást.

A töltéselrendezés által a kérdéses pontban keltett tér nagyságát integrálással határozhatjuk meg:

$\[E_{z}= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}k\cdot\lambda\cdot\frac{\cos\alpha}{d}d\alpha\]$

Vagyis:

$\[E_{z} = \frac{2\cdot k\cdot\lambda}{d}\]$