Elektrosztatika példák - Körvezető tengelye mentén az elektromos tér

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Elektrosztatika - Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
Feladatok listája:
  1. Négyszög sarkaiba helyezett ponttöltések elektromos tere
  2. Két töltést összekötő egyenes mentén az elektromos tér
  3. Körvezető tengelye mentén az elektromos tér
  4. Egyenletesen töltött körlap tengelye mentén az elektromos tér
  5. Végtelen hosszú egyenes fonál elektromos tere 1.
  6. Végtelen hosszú egyenes fonál elektromos tere 2.
  7. Végtelen sík elektromos tere
  8. Két, egymásra merőleges végtelen sík elektromos tere
  9. Homogén térfogati töltéssűrűségű töltött gömb elektromos tere
  10. Földelt gömbhéjjal koncentrikusan körülvett egyenletesen töltött gömb elektromos tere
  11. Egyenletesen töltött gömbben lévő, gömb alakú üreg elektromos tere
  12. Végtelen hosszú egyenes fonálpár elektromos tere
  13. Az elektromos térerősség helyfüggő lineáris töltéssűrűségű szigetelő gyűrű tengelye mentén
  14. Vezető gömbhéjjal koncentrikusan körülvett egyenletesen töltött gömb elektromos tere
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú vékony körvezető töltése \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Határozzuk meg a térerősséget a körvezető tengelyén, a körvezető síkjától \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságban. A tengely mely pontján a legnagyobb a térerősség?

Megoldás


KFGY2-1-3uj2.png

A gyűrűt elemi részekre osztjuk, és a kérdéses pontban összegezzük a gyűrűelemek térerősség járulékait. A gyűrűt az ábrán látható \setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szög szerint parametrizáljuk, a kört \setbox0\hbox{$d\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szög alatt látszó ívelemekre bontjuk. Ebben az esetben egy ívelem \setbox0\hbox{$dQ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltése a következő:

\[dQ=\dfrac{d\varphi}{2\pi}Q\]

Az ívelem és a kérdéses pont \setbox0\hbox{$s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolsága:

\[s=\sqrt{r^2+z^2}\]

A kérdéses pontban Coulomb törvényével meghatározhatjuk az elemi ívdarab \setbox0\hbox{$dE$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térerősség járulékát:

\[dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{dQ}{s^2}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{\dfrac{d\varphi}{2\pi}Q}{r^2+z^2}  \]

A rendszer hengerszimmetriája miatt a \setbox0\hbox{$dE$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térerősség járulékok szimmetriatengelyre merőleges komponensei kioltják egymást, míg a \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányú komponensek összegződnek. A \setbox0\hbox{$dE$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térerősség függőleges komponense:

\[dE_{z}=dEcos(\theta)\]

Ahol \setbox0\hbox{$\theta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tengely és \setbox0\hbox{$s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% által bezárt szög:

\[cos(\theta)=\dfrac{z}{\sqrt{r^2+z^2}}\]
\[dE_{z}=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{d\varphi}{2\pi}\dfrac{z}{(r^2+z^2)^{3/2}}\]

Összegezzük az elemi ívdarabok \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányú térerősség járulékát, és megkapjuk a térerősség értékét a kérdéses pontban:

\[ E=\int_0^{2\pi}dE_z=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{2\pi(r^2+z^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi}d\varphi=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(r^2+z^2)^{3/2}} \]

Ezt követően határozzuk meg a maximális térerősség \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% helyét! A szélsőértéket az alábbi egyenlet megoldásával kereshetjük meg:

\[ \dfrac{dE}{dz}=0\]

Az \setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térerősség \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szerinti deriváltja:

\[ \frac{dE}{dz}=\frac{(r^2+z^2)^{3/2}-3z^2(r^2+z^2)^{1/2}}{(r^2+z^2)^3}\]

A megoldandó egyenlet tehát:

\[ 0=(r^2+z^2)^{3/2}-3z^2(r^2+z^2)^{1/2}\]

A megoldás:

\[ z=\dfrac{r}{\sqrt{2}}\]