Elektrosztatika példák - Változó vezetőképességű anyaggal töltött kocka ellenállása

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ élhosszúságú kocka anyagának vezetőképessége a magasság függvényében így változik:
   $\[\sigma = \sigma_0\cdot\frac{2a-z}{a}\]$
   Számítsuk ki a kocka ellenállását
   a) az alsó és felső;
   b) a két átellenes, oldalsó lap között.

Megoldás

a, A kontinuitási egyenlet miatt:

$\[j(z)\cdot a^2 = const. \Rightarrow j(z) = j_0\]$

A differenciális Ohm-törvényt felírva:

$\[j_0 = E(z)\cdot\sigma(z)\]$

amiből:

$\[E(z) = \frac{j_0}{\sigma(z)} = \frac{j_0\cdot a}{\sigma_0\left(2a-z\right)}\]$

Ebből a potenciálkülönbség a két elektróda között:

$\[U = \int_0^a E(z)dz = \frac{j_0\cdot a}{\sigma_0} \cdot\ln\left(2\right)\]$

Az áram pedig:

$\[I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = j_0\cdot a^2\]$

Az ellenállás pedig adódik az Ohm-törvényből:

$\[R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(2\right)}{\sigma_0 a}\]$

b, Ebben az esetben az áram a vezetőképesség $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányú gradiensére merőlegesen folyik. Mivel stacionárius áramlást nézünk, ezért igaz a hurok törvény:

$\[\oint \vec{E}\cdot\vec{dl} = 0 \rightarrow E(z_1)a-E(z_2)a = 0 \rightarrow E(z_1) = E(z_2) = E_0 \]$

vagyis a kockában homogén, $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re merőleges elektromos tér jön létre. Ezért a potenciálkülönbség a két elektróda között:

$\[U = E_0\cdot a\]$

Az áramsűrűség pedig a differenciális Ohm-törvény értelmében a következőképpen változik a $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányban:

$\[j(z) = E_0 \cdot \sigma (z) =E_0 \sigma_0\cdot \dfrac {\left(2a-z\right)}{a} \]$

A kockán átfolyó áramot az áramsűrűség felületi integráljaként kapjuk meg:

$\[I = \int \vec{j}\cdot\vec{dA} = \int_0^a E_0 \sigma_0\cdot \dfrac{\left(2a-z\right)}{a} \cdot a\cdot dz = \frac{3}{2} a^2 E_0 \sigma_0\]$

Az ellenállás pedig adódik az Ohm-törvényből:

$\[R = \frac{U}{I} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a \sigma_0}\]$