Elektrosztatika példák - Változó vezetőképességű anyaggal töltött kocka ellenállása
A Fizipedia wikiből
Feladat
- Egy
élhosszúságú kocka anyagának vezetőképessége a magasság függvényében így változik:
Számítsuk ki a kocka ellenállását
a) az alsó és felső;
b) a két átellenes, oldalsó lap között.
Megoldás
a, A kontinuitási egyenlet miatt:
![\[j(z)\cdot a^2 = const. \Rightarrow j(z) = j_0\]](/images/math/3/d/e/3de524c1e91709ba2bb3209e9917172f.png)
A differenciális Ohm-törvényt felírva:
![\[j_0 = E(z)\cdot\sigma(z)\]](/images/math/e/a/9/ea9076c93a826f3c9005321bf491adea.png)
amiből:
![\[E(z) = \frac{j_0}{\sigma(z)} = \frac{j_0\cdot a}{\sigma_0\left(2a-z\right)}\]](/images/math/3/0/7/3077f762b3f9748ccf39d6d40f217eb0.png)
Ebből a potenciálkülönbség a két elektróda között:
![\[U = \int_0^a E(z)dz = \frac{j_0\cdot a}{\sigma_0} \cdot\ln\left(2\right)\]](/images/math/9/7/d/97d5eea8bf3b89a0e6f1eadb49897c49.png)
Az áram pedig:
![\[I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = j_0\cdot a^2\]](/images/math/b/c/f/bcfbf0ac7f986f848d2278c7443b143c.png)
Az ellenállás pedig adódik az Ohm-törvényből:
![\[R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(2\right)}{\sigma_0 a}\]](/images/math/d/8/0/d80263204117fffda3b7802dc8ae4071.png)
b, Ebben az esetben az áram a vezetőképesség irányú gradiensére merőlegesen folyik.
Mivel stacionárius áramlást nézünk, ezért igaz a hurok törvény:
![\[\oint \vec{E}\cdot\vec{dl} = 0 \rightarrow E(z_1)a-E(z_2)a = 0 \rightarrow E(z_1) = E(z_2) = E_0 \]](/images/math/0/9/b/09b5a9aca751cb52c04959d21f108861.png)
vagyis a kockában homogén, -re merőleges elektromos tér jön létre.
Ezért a potenciálkülönbség a két elektróda között:
![\[U = E_0\cdot a\]](/images/math/4/c/b/4cbcd8f20cff6b768c66c1ba95f376c4.png)
Az áramsűrűség pedig a differenciális Ohm-törvény értelmében a következőképpen változik a irányban:
![\[j(z) = E_0 \cdot \sigma (z) =E_0 \sigma_0\cdot \dfrac {\left(2a-z\right)}{a} \]](/images/math/1/6/a/16a27b1e61d5e3c8143b91669e571bfa.png)
A kockán átfolyó áramot az áramsűrűség felületi integráljaként kapjuk meg:
![\[I = \int \vec{j}\cdot\vec{dA} = \int_0^a E_0 \sigma_0\cdot \dfrac{\left(2a-z\right)}{a} \cdot a\cdot dz = \frac{3}{2} a^2 E_0 \sigma_0\]](/images/math/d/5/c/d5ca7547b01840040f0d979e5156e28c.png)
Az ellenállás pedig adódik az Ohm-törvényből:
![\[R = \frac{U}{I} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a \sigma_0}\]](/images/math/9/0/a/90a6b8c81711ff8f24702692d022b09b.png)