Elektrosztatika példák - Vezető anyaggal töltött kondenzátor ellenállása

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Elektrosztatika - Vezetőképesség, áramsűrűség
Feladatok listája:
  1. Vezető anyaggal töltött kondenzátor ellenállása
  2. Változó vezetőképességű anyaggal töltött kocka ellenállása
  3. Határfelületen kialakult töltéssűrűség
  4. Különböző vezetőképességű anyagok határfelületén az átfolyó áram hatására kialakuló felületi töltéssűrűség
  5. Áramvonalak törési törvénye
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Számítsuk ki az
    a) \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú gömblemezekből álló \setbox0\hbox{$(a<b)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vezetőképességű közeggel kitöltött gömbkondenzátor; ill.
    b) az \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú, \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú, fegyverzetekből álló, \setbox0\hbox{$\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vezetőképességű közeggel kitöltött hengerkondenzátor \setbox0\hbox{$(L>>b)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ellenállását!
    A fegyverzetek közti feszültség mindkét esetben időben állandó!

Megoldás


a, Mivel a kondenzátor lemezei közti feszültség --- és így a lemezeken jelen lévő töltés nagysága is --- időben állandó, a fegyverzetek közt folyó áram stacionárius. A Gauss-tétel stacionárius áramok esetén is igaz. A Gauss tétel egy \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú koncentrikus gömbre:

\[E\cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}\]
\[E = \frac{Q}{4\pi r^2 \epsilon_0}\]

amiből a gömbök közötti potenciálkülönbség:

\[U = \int_a ^b \vec{E}\cdot\vec{dr} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\]

A differenciális Ohm-törvény alapján a gömbben folyó áramsűrűség nagysága:

\[\vec{j} = \sigma\cdot \vec{E}\]
\[j = \frac{\sigma Q}{4 \pi r^2 \epsilon_0}\]

amely áramsűrűséget az \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú gömbfelületen integrálva megkapjuk a gömbhéjak között folyó áramot:

\[I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = \sigma \iint \vec{E}\cdot\vec{dA} = \frac{\sigma Q}{\epsilon_0}\]

Ebből az Ohm-törvény alapján a gömb ellenállása:

\[R = \frac{U}{I} = \frac{1}{4 \pi\sigma}\cdot\frac{b-a}{ab}\]

b, Henger esetén:

\[E\cdot 2 \pi r L = \frac{Q}{\epsilon_0}\]
\[E = \frac{Q}{4\pi r L \epsilon_0}\]

amiből a hengerek közötti potenciálkülönbség:

\[U = \int_a ^b \vec{E}\cdot\vec{dr} = \frac{Q}{2\pi\epsilon_0 L}\cdot\ln\left(\frac{b}{a}\right)\]

A differenciális Ohm-törvény alapján a hengerben folyó áramsűrűség:

\[\vec{j} = \sigma\cdot\vec{E}\]
\[\vec{j} = \frac{\sigma Q}{2 \pi r L \epsilon_0}\]

amely áramsűrűséget az \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú hengerfelületen integrálva megkapjuk a hengerek között folyó áramot:

\[I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = \sigma \iint \vec{E}\cdot\vec{dA} = \frac{\sigma Q}{\epsilon_0}\]

Ebből az Ohm-törvény alapján a henger ellenállása:

\[R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}{2 \pi L\sigma}\]