Magnetosztatika példák - Áram által átjárt üreges hengerben a mágneses tér

Feladat

1. Tömör fémből készült, hosszú, egyenes körhengerben ugyancsak henger alakú üreget készítünk. Az üreg tengelye $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra van a henger tengelyétől. Az üreges hengerben egyenletes $\setbox0\hbox{$j$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áramsűrűséggel tengelyirányú áram folyik. Milyen a mágneses térerősség az üreg belsejében?

Megoldás

Alkalmazzuk a szuperpozíció elvét! Az üreges hengerben folyó áramot elképzelhetjük úgy, mintha egy tömör hengerben folyna áram homogén $\setbox0\hbox{$j$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áramsűrűséggel, melyhez hozzáadjuk egy kisebb vezető henger ugyancsak homogén, $\setbox0\hbox{$-j$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áramsűrűség eloszlását. Az árameloszlás két összetevője által keltett mágneses terek szuperpozíciója megegyezik az üreges hengerben folyó áram mágneses terével. A homogén, $\setbox0\hbox{$j$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áramsűrűséggel átjárt henger belsejében ismerjük a teret az Áram által átjárt hengeres vezetékben a mágneses tér feladatából:

$\[\vec{H}=\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{2}\]$

Mi most egy $\setbox0\hbox{$j$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és egy $\setbox0\hbox{$-j$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ árammal átjárt henger $\setbox0\hbox{$\vec{H_1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\vec{H_2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ terét határozzuk meg:

$\[\vec{H_1}=\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{2}\]$

$\[\vec{H_2}=-\dfrac{\vec{j}\times \vec{r'}}{2}\]$

Ahol $\setbox0\hbox{$\vec{r}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az első, $\setbox0\hbox{$\vec{r'}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a második henger tengelyétől a vizsgált pontba mutató vektor. Mivel a hengerek tengelyei egymástól $\setbox0\hbox{$\vec{d}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra helyezkednek el, $\setbox0\hbox{$\vec{r'}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kifejezhető a következőképpen:

$\[\vec{r'}=\vec{r}-\vec{d}\]$

Ez alapján $\setbox0\hbox{$\vec{H_2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a következő:

$\[\vec{H_2}=-\dfrac{\vec{j}\times \vec{r'}}{2}=-\dfrac{\vec{j}\times \left( \vec{r}-\vec{d} \right) }{2}=\dfrac{\vec{j}\times \vec{d}}{2}-\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{2}\]$

A két henger terének szuperpozíciója megadja a lyukas henger üregében mérhető teret:

$\[\vec{H}=\vec{H_1}+\vec{H_2}=\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{2}+\dfrac{\vec{j}\times \vec{d}}{2}-\dfrac{\vec{j}\times \vec{r}}{2}=\dfrac{\vec{j}\times \vec{d}}{2}\]$

A megoldás meglepő: Az üregben mérhető tér homogén, nagysága csak henger és az üreg tengelytávolságától függ.